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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21078 5c6a74a5210b281db9f4c816 高中 解答题 自招竞赛 两名滑冰者阿莉和比莉何如别在平坦的冻结湖面上的 $A$ 点和 $B$ 点，$A$ 和 $B$ 之间的距离是100米，如图所示，阿莉离开 $A$ 以每秒8米的速度沿着与 $AB$ 成 $60{}^\circ $ 角的直线滑行，如图所示，在阿莉离开 $A$ 的同时，比莉以每秒7米的速度，也沿着一条直线滑行离开 $B$，这条直线能使这两名滑冰者以所给的速度最早相遇．在遇到比莉之前阿莉滑行了几米？ 2022-04-17 20:40:05
21077 5c6a74aa210b281dbaa93464 高中 解答题 自招竞赛 若整数 $k$ 被加到36，300和596各个数上，得到一个等差数列的三个连续项的平方，求 $k$． 2022-04-17 20:39:05
21076 5c6a74b0210b281dbaa93469 高中 解答题 自招竞赛 假定 ${{x}_{1}}$，${{x}_{2}}$，${{x}_{3}}$，…，${{x}_{7}}$ 是实数，使得
${{x}_{1}}+4{{x}_{2}}+9{{x}_{3}}+16{{x}_{4}}+25{{x}_{5}}+36{{x}_{6}}+49{{x}_{7}}=1$，（1）
$4{{x}_{1}}+9{{x}_{2}}+16{{x}_{3}}+25{{x}_{4}}+36{{x}_{5}}+49{{x}_{6}}+64{{x}_{7}}=12$，（2）
$9{{x}_{1}}+16{{x}_{2}}+25{{x}_{3}}+36{{x}_{4}}+49{{x}_{5}}+64{{x}_{6}}+81{{x}_{7}}=123$，（3）
求 $16{{x}_{1}}+25{{x}_{2}}+36{{x}_{3}}+49{{x}_{4}}+64{{x}_{5}}+81{{x}_{6}}+100{{x}_{7}}$ 的值．		 2022-04-17 20:39:05
21075 5c6a74be210b281db9f4c823 高中 解答题 自招竞赛 设 $a$，$b$，$c$ 是三角形的三边，$\alpha $，$\beta $，$\gamma $ 分别是相对于这三边的角，若 ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1989{{c}^{2}}$，求 $\frac{\cot \gamma }{\cot \alpha +\cot \beta }$． 2022-04-17 20:38:05
21074 5c6a74c3210b281db9f4c829 高中 解答题 自招竞赛 给出由121个整数组成的一个样本（即这些整数组成的一个集合），这些整数在1～1000（包括1和1000）允许重复出现，这个样本中有唯一的众数（即出现次数最多的数），设 $D$ 为众数与样本的算术平均值之差．
若让 $D$ 尽可能大，$\left[ D \right]$ 是多少（对实数 $x$，$\left[ x \right]$ 是小于或等于 $x$ 的最大的整数）？		 2022-04-17 20:38:05
21073 5c6a74d6210b281db9f4c835 高中 解答题 自招竞赛 给定一个正整数 $n$，能够证明每个形如 $r+s\text{i}$ 的复数（$r$，$s$ 为整数）能用整数0，1，2，…，${{n}^{2}}$ 作为“数码”唯一地表示成“$-n+\text{i}$ 进位制”的形式，即方程
$r+s\text{i}={{a}_{m}}{{\left( -n+\text{i} \right)}^{m}}+{{a}_{m-1}}{{\left( -n+\text{i} \right)}^{m-1}}+\cdots +{{a}_{1}}\left( -n+\text{i} \right)+{{a}_{0}}$ 对于唯一地选取的非负整数 $m$ 与数码 ${{a}_{0}}$，${{a}_{1}}$，…，${{a}_{m}}$（它们取自集合 $\left\{ 0 1 2 \cdots {{n}^{2}} \right\}$，${{a}_{m}}\ne 0$）成立．这时以 $r+s\text{i}={{\left( {{a}_{m}}{{a}_{m-1}}\cdots {{a}_{1}}{{a}_{0}} \right)}_{-n+\text{i}}}$ 记为 $r+s\text{i}$ 的“$-n+\text{i}$ 进位制”展开式．只有有限多个整数 $k+0\text{i}$ 具有“四位数”展开式，$k={{\left( {{a}_{3}}{{a}_{2}}{{a}_{1}}{{a}_{0}} \right)}_{-3+\text{i}}}$，${{a}_{3}}\ne 0$．求全部这种 $k$ 的和．		 2022-04-17 20:38:05
21072 5c6a74dc210b281db9f4c83a 高中 解答题 自招竞赛 $P$ 是 $\vartriangle ABC$ 内一点，引线段 $APD$，$BPE$ 和 $CPF$，使 $D$ 在 $BC$ 上，$E$ 在 $CA$ 上，$F$ 在 $AB$ 上，已知 $AP=6$，$BP=9$，$PD=6$，$PE=3$ 和 $CF=20$．求 $\vartriangle ABC$ 的面积． 2022-04-17 20:37:05
21071 5c6b7094210b281dbaa93482 高中 解答题 自招竞赛 递增数列2，3，5，6，7，10，11，…由所有既不是平方数，又不是立方数的正整数组成，求这个数列的第500项． 2022-04-17 20:36:05
21070 5c6b709a210b281db9f4c84e 高中 解答题 自招竞赛 求 ${{\left( 52+6\sqrt{43} \right)}^{\frac{3}{2}}}-{{\left( 52-6\sqrt{43} \right)}^{\frac{3}{2}}}$ 的值． 2022-04-17 20:36:05
21069 5c6b70a0210b281dbaa93488 高中 解答题 自招竞赛 设 ${{P}_{1}}$ 是正 $r$ 边形，${{P}_{2}}$ 是正 $s$ 边形 $\left( r\geqslant s\geqslant 3 \right)$，${{P}_{1}}$ 的内角与 ${{P}_{2}}$ 的内角之比是 $\frac{59}{58}$，$s$ 可能取的最大值是几？ 2022-04-17 20:35:05
21068 5c6b70a5210b281db9f4c853 高中 解答题 自招竞赛 求方程 $\frac{1}{{{x}^{2}}-10x-29}+\frac{1}{{{x}^{2}}-10x-45}-\frac{2}{{{x}^{2}}-10x-69}=0$ 的正数解． 2022-04-17 20:34:05
21067 5c6b70aa210b281db9f4c858 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是满足下列条件的最小的正整数：它是75的倍数且恰有75个正整数因子（包括1和自身），求 $\frac{n}{75}$． 2022-04-17 20:34:05
21066 5c6b70b5210b281db9f4c864 高中 解答题 自招竞赛 一个三角形的顶点为 $P\left( -8 ,5 \right)$，$Q\left( -15, -19 \right)$，$R\left( 1 ,-7 \right)$，$\angle P$ 的平分线方程为 $ax+2y+c=0$，求 $a+c$． 2022-04-17 20:33:05
21065 5c6b70bc210b281db9f4c869 高中 解答题 自招竞赛 在一次射击比赛中，8个泥制的靶子挂成三列，其中两列各挂3个，一列挂2个，如图所示．一射手按照下列规则去击碎靶子，先挑选一列，然后必须击碎这列中尚未被击碎的靶子中最低的一个，若每次射击都遵循这一规则，击碎全部8个靶子可以有多少种不同的次序？ 2022-04-17 20:33:05
21064 5c6b70c3210b281dbaa93490 高中 解答题 自招竞赛 一枚均匀的硬币掷10次，从不接连出现正面的概率为 $\frac{i}{j}$（即约分数），求 $i+j$． 2022-04-17 20:32:05
21063 5c6bab46210b281db9f4c88a 高中 解答题 自招竞赛 如果 $x$ 和 $y$ 为正整数，且 $xy+x+y=71$，${{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}=880$．求 ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$． 2022-04-17 20:32:05
21062 5c6bab50210b281db9f4c890 高中 解答题 自招竞赛 矩形 $ABCD$ 的边长 $AB$ 为4，$CB$ 为3．用点 $A={{P}_{0}}$，${{P}_{1}}$，…，${{P}_{168}}=B$ 将 $AB$ 平分为168份；用点 $C={{Q}_{0}} {{Q}_{1}} \cdots {{Q}_{168}}=B$ 将 $CB$ 平分为168份．对 $1\leqslant k\leqslant 167$，连接线段 ${{P}_{k}}{{Q}_{k}}$．对于边 $AD$ 和 $CD$ 重复这样的工作并连接对角线 $AC$．求这335条平行线段的长度和． 2022-04-17 20:31:05
21061 5c6bab58210b281db9f4c896 高中 解答题 自招竞赛 按二项式定理将 ${{\left( 1+0.2 \right)}^{1000}}$ 展开如下：
$\text{C}_{1000}^{0}{{\left( 0.2 \right)}^{0}}+\text{C}_{1000}^{1}{{\left( 0.2 \right)}^{1}}+\text{C}_{1000}^{2}{{\left( 0.2 \right)}^{2}}+\cdots +\text{C}_{1000}^{1000}{{\left( 0.2 \right)}^{1000}}={{A}_{0}}+{{A}_{1}}+{{A}_{2}}+\cdots +{{A}_{1000}}$．
其中 ${{A}_{k}}=\text{C}_{1000}^{k}{{\left( 0.2 \right)}^{k}}$，$k=0 1 2 \cdots 1000$．
问对哪个 $k$，${{A}_{k}}$ 最大？		 2022-04-17 20:30:05
21060 5c6bab61210b281db9f4c89c 高中 解答题 自招竞赛 有多少个实数 $x$ 满足方程 $\frac{1}{5}{{\log }_{2}}x=\sin \left( 5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }x \right)$？ 2022-04-17 20:30:05
21059 5c6bab70210b281dbaa934b1 高中 解答题 自招竞赛 给定一个有理数，将它写成最简分数的形式并计算这时分子与分母的乘积．试问在0和1之间有多少个有理数按上面方式得到的乘积恰好是20！？ 2022-04-17 20:29:05
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