一个正十二边形内接于半径为12的圆，这正十二边形所有的边和对角线的长度之和可以写成 $a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}$ 的形式，其中 $a$，$b$，$c$，$d$ 的形式，其中 $a$，$b$，$c$，$d$ 是正整数，求 $a+b+c+d$．
【难度】
【出处】
1990年第8届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
720
【解析】
如图所示．
（1）对角线 ${{A}_{1}}{{A}_{7}}$ 为外接圆的直径，所以 ${{A}_{1}}{{A}_{7}}=24$．这样的对角线有 $\frac{1}{2}\text{C}_{12}^{1}=6$（条）；
（2）对角线 ${{A}_{1}}{{A}_{6}}={{A}_{1}}{{A}_{7}}\cos 15{}^\circ =6\left(\sqrt{6}+\sqrt{2} \right)$，这样的对角线有12（条）；
（3）对角线 ${{A}_{1}}{{A}_{5}}={{A}_{1}}{{A}_{7}}\cos 30{}^\circ =12\sqrt{3}$，这样的对角线有12（条）；
（4）对角线 ${{A}_{1}}{{A}_{4}}={{A}_{1}}{{A}_{7}}\cos 45{}^\circ =12\sqrt{2}$，这样的对角线有12（条）；
（5）对角线 ${{A}_{1}}{{A}_{3}}={{A}_{1}}{{A}_{7}}\cos 60{}^\circ =12$，这样的对角线有12（条）；
（6）边 ${{A}_{1}}{{A}_{2}}={{A}_{1}}{{A}_{7}}\cos 75{}^\circ =6\left(\sqrt{6}-\sqrt{2} \right)$，这样的边有12（条）．
所以所有边和对角线的长度之和．
$l=24\times6+12\times \left( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right)\times 6+12\times12\sqrt{3}+12\times 12\sqrt{2}+12\times 12+12\times 6\times \left(\sqrt{6}-\sqrt{2} \right)$
$=288+144\sqrt{2}+144\sqrt{3}+144\sqrt{6}$．
因此 $a+b+c+d=144\times\left( 2+1+1+1 \right)=720$．
（1）对角线 ${{A}_{1}}{{A}_{7}}$ 为外接圆的直径，所以 ${{A}_{1}}{{A}_{7}}=24$．这样的对角线有 $\frac{1}{2}\text{C}_{12}^{1}=6$（条）；（2）对角线 ${{A}_{1}}{{A}_{6}}={{A}_{1}}{{A}_{7}}\cos 15{}^\circ =6\left(\sqrt{6}+\sqrt{2} \right)$，这样的对角线有12（条）；
（3）对角线 ${{A}_{1}}{{A}_{5}}={{A}_{1}}{{A}_{7}}\cos 30{}^\circ =12\sqrt{3}$，这样的对角线有12（条）；
（4）对角线 ${{A}_{1}}{{A}_{4}}={{A}_{1}}{{A}_{7}}\cos 45{}^\circ =12\sqrt{2}$，这样的对角线有12（条）；
（5）对角线 ${{A}_{1}}{{A}_{3}}={{A}_{1}}{{A}_{7}}\cos 60{}^\circ =12$，这样的对角线有12（条）；
（6）边 ${{A}_{1}}{{A}_{2}}={{A}_{1}}{{A}_{7}}\cos 75{}^\circ =6\left(\sqrt{6}-\sqrt{2} \right)$，这样的边有12（条）．
所以所有边和对角线的长度之和．
$l=24\times6+12\times \left( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right)\times 6+12\times12\sqrt{3}+12\times 12\sqrt{2}+12\times 12+12\times 6\times \left(\sqrt{6}-\sqrt{2} \right)$
$=288+144\sqrt{2}+144\sqrt{3}+144\sqrt{6}$．
因此 $a+b+c+d=144\times\left( 2+1+1+1 \right)=720$．
答案
解析
备注
