抽屉中装有红蓝两种短袜，总数不超过1991只，假设随机地取出两只短袜是同色的可能性恰好为 $\frac{1}{2}$，那么抽屉中红袜的最大可能数是多少才能与以上数据一致？
【难度】
【出处】
1991年第9届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
990
【解析】
设 $x$，$y$ 分别为抽屉中红色短袜和蓝色短袜的数目，因为拿出不同色的两只袜子的概率是 $\frac{1}{2}$，所以 $\frac{x\cdot y}{\text{C}_{x+y}^{2}}=\frac{1}{2}$．
因此，有 $\left( x+y\right)\left( x+y-1 \right)=4xy$，即 ${{\left( x-y \right)}^{2}}=x+y$．
上式说明，抽屉中短袜总数是一个完全平方数．令 $n=x-y$，则 ${{n}^{2}}=x+y$．
于是有 $x=\frac{{{n}^{2}}+n}{2}$．
因为 $x+y\leqslant 1991$，所以 $\left| n \right|\leqslant \sqrt{1991}<45$．可见，当 $n=44$ 时，所对应的 $x$ 的值便是可能出现的最大 $x$ 值．此时 $x=990$．
因此，有 $\left( x+y\right)\left( x+y-1 \right)=4xy$，即 ${{\left( x-y \right)}^{2}}=x+y$．
上式说明，抽屉中短袜总数是一个完全平方数．令 $n=x-y$，则 ${{n}^{2}}=x+y$．
于是有 $x=\frac{{{n}^{2}}+n}{2}$．
因为 $x+y\leqslant 1991$，所以 $\left| n \right|\leqslant \sqrt{1991}<45$．可见，当 $n=44$ 时，所对应的 $x$ 的值便是可能出现的最大 $x$ 值．此时 $x=990$．
答案
解析
备注
