对于任意的实数数列 $A=\left( {{a}_{1}} ,{{a}_{2}}, {{a}_{3}} ,\cdots \right)$，定义 $\Delta A$ 为数列 $\left( {{a}_{2}}-{{a}_{1}}, {{a}_{3}}-{{a}_{2}} ,{{a}_{4}}-{{a}_{3}}, \cdots \right)$，其中它的第 $n$ 项为 ${{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}$．假设 $\Delta \left( \Delta A \right)$ 的所有项都是1，而 ${{a}_{19}}={{a}_{92}}=0$，试求 ${{a}_{1}}$．
【难度】
【出处】
1992年第10届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
819
【解析】
设数列 $\Delta A$ 的第一项是 $d$，则数列 $\Delta A$ 为 $\left( d d+1 d+2 \cdots \right)$，其中第 $n$ 项为 $d+\left(n-1 \right)$．因此数列 $A$ 可写成
${{a}_{1}}$，${{a}_{1}}+d$，${{a}_{1}}+d+\left(d+1 \right)$，${{a}_{1}}+d+\left( d+1 \right)+\left( d+2 \right)$，…，
其中第 $n$ 项是 ${{a}_{n}}={{a}_{1}}+\left(n-1 \right)d+\frac{1}{2}\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)$．
这说明 ${{a}_{n}}$ 是关于 $n$ 的二次多项式，而此多项式的首项系数为 $\frac{1}{2}$．因 ${{a}_{19}}={{a}_{92}}=0$ 故必有 ${{a}_{n}}=\frac{1}{2}\left(n-19 \right)\left( n-92 \right)$．
从而知 ${{a}_{1}}=\frac{1}{2}\left(1-19 \right)\times \left( 1-92 \right)=819$．
${{a}_{1}}$，${{a}_{1}}+d$，${{a}_{1}}+d+\left(d+1 \right)$，${{a}_{1}}+d+\left( d+1 \right)+\left( d+2 \right)$，…，
其中第 $n$ 项是 ${{a}_{n}}={{a}_{1}}+\left(n-1 \right)d+\frac{1}{2}\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)$．
这说明 ${{a}_{n}}$ 是关于 $n$ 的二次多项式，而此多项式的首项系数为 $\frac{1}{2}$．因 ${{a}_{19}}={{a}_{92}}=0$ 故必有 ${{a}_{n}}=\frac{1}{2}\left(n-19 \right)\left( n-92 \right)$．
从而知 ${{a}_{1}}=\frac{1}{2}\left(1-19 \right)\times \left( 1-92 \right)=819$．
答案
解析
备注
