四面体 $ABCD$ 的 $ABC$ 面和 $BCD$ 面相交成 $30{}^\circ $ 的角．三角形 $ABC$ 的面积是120，三角形 $BCD$ 的面积是80，且 $BC=10$．试求四面体的体积．
【难度】
【出处】
1992年第10届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
320
【解析】
如图所示，设 $H$ 是从点 $D$ 到直线 $BC$ 的垂足．因 $BC=10$，$\vartriangle BCD$ 的面积为80，可知 $DH=16$，再令 $P$ 是从点 $D$ 到平面 $ABC$ 的垂足，易见 $\vartriangle HPD$ 是直角三角形而 $\angle DHP$ 为 $30{}^\circ $．由此可知 $DP=\frac{1}{2}DH=8$．而四面体的体积为 $\frac{1}{3}DP\times {{S}_{\vartriangle ABC}}=\frac{1}{3}\times8\times 120=320$．
答案
解析
备注
