一个三角形的顶点为 $P\left( -8 ,5 \right)$，$Q\left( -15, -19 \right)$，$R\left( 1 ,-7 \right)$，$\angle P$ 的平分线方程为 $ax+2y+c=0$，求 $a+c$．
【难度】
【出处】
1990年第8届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
89
【解析】
设 $\vartriangle PQR$ 的 $\angle P$ 的平分线为 $PT$，$T$ 点坐标为 $\left( x, y \right)$，
$\left| PQ \right|=\sqrt{{{7}^{2}}+{{24}^{2}}}=25$，
$\left| PR\right|=\sqrt{{{9}^{2}}+{{12}^{2}}}=15$，
$\left| \frac{QT}{TR} \right|=\left|\frac{PQ}{PR} \right|=\frac{25}{15}=\frac{5}{3}$．
依定比分点公式得 $x=-5$，$y=\frac{-23}{2}$．
直线 $PT$ 的方程为 $y-5=-\frac{11}{2}\left(x+8 \right)$，
即 $11x+2y+78=0$，
所以 $a+c=11+78=89$．
$\left| PQ \right|=\sqrt{{{7}^{2}}+{{24}^{2}}}=25$，
$\left| PR\right|=\sqrt{{{9}^{2}}+{{12}^{2}}}=15$，
$\left| \frac{QT}{TR} \right|=\left|\frac{PQ}{PR} \right|=\frac{25}{15}=\frac{5}{3}$．
依定比分点公式得 $x=-5$，$y=\frac{-23}{2}$．
直线 $PT$ 的方程为 $y-5=-\frac{11}{2}\left(x+8 \right)$，
即 $11x+2y+78=0$，
所以 $a+c=11+78=89$．
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解析
备注
