两名滑冰者阿莉和比莉何如别在平坦的冻结湖面上的 $A$ 点和 $B$ 点，$A$ 和 $B$ 之间的距离是100米，如图所示，阿莉离开 $A$ 以每秒8米的速度沿着与 $AB$ 成 $60{}^\circ $ 角的直线滑行，如图所示，在阿莉离开 $A$ 的同时，比莉以每秒7米的速度，也沿着一条直线滑行离开 $B$，这条直线能使这两名滑冰者以所给的速度最早相遇．在遇到比莉之前阿莉滑行了几米？
【难度】
【出处】
1989年第7届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
160
【解析】
设经过 $t$ 秒钟阿莉和比莉在 $C$ 处相遇（如图），则 $AC=8t$，$BC=7t$．由余弦定理得
$B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-2\times AB\cdot AC\cos 60{}^\circ $，
即 ${{\left( 7t\right)}^{2}}={{\left( 8t \right)}^{2}}+{{100}^{2}}-800t$．
由此可得 ${{t}_{1}}=20$，${{t}_{2}}=\frac{100}{3}=33\frac{1}{3}$．
因为有一条直线能使这两名滑冰者以给定的速度最早相遇，所以 $t$ 取20秒，得 $AC=160$ 米，即阿莉滑行了 $160$ 米．
$B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-2\times AB\cdot AC\cos 60{}^\circ $，
即 ${{\left( 7t\right)}^{2}}={{\left( 8t \right)}^{2}}+{{100}^{2}}-800t$．
由此可得 ${{t}_{1}}=20$，${{t}_{2}}=\frac{100}{3}=33\frac{1}{3}$．
因为有一条直线能使这两名滑冰者以给定的速度最早相遇，所以 $t$ 取20秒，得 $AC=160$ 米，即阿莉滑行了 $160$ 米．
答案
解析
备注
