设 $n$ 是满足下列条件的最小的正整数：它是75的倍数且恰有75个正整数因子（包括1和自身），求 $\frac{n}{75}$．
【难度】
【出处】
1990年第8届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
432
【解析】
由条件可知 $n=75=3\times {{5}^{2}}k$，欲使 $n$ 尽可能小，可设 $n={{2}^{\alpha}}{{3}^{\beta }}{{5}^{\gamma }}\left( \gamma \geqslant 2 \beta \geqslant 1 \right)$ 且有
$\left( \alpha+1 \right)\cdot \left( \beta +1 \right)\cdot \left( \gamma +1 \right)=75$．于是 $\alpha+1$，$\beta +1$，$\gamma +1$ 都为奇数，所以 $\alpha $，$\beta $，$\gamma $ 都为偶数，因此 $\gamma $ 应取为2．由 $\left(\alpha +1 \right)\left( \beta +1 \right)\left( \gamma +1 \right)=75$，得 $\left(\alpha +1 \right)\left( \beta +1 \right)=25$．
（1）$\alpha +1=5$，$\beta +1=5$，$\alpha =4$，$\beta =4$，$n={{2}^{4}}\cdot {{3}^{4}}\cdot {{5}^{2}}$；
（2）$\alpha +1=1$，$\beta +1=25$，$\alpha =0$，$\beta =24$，$n={{2}^{0}}\cdot {{3}^{24}}\cdot {{5}^{2}}$．
从（1）和（2）知最小的正整数 $n$ 是 ${{2}^{4}}\cdot{{3}^{4}}\cdot {{5}^{2}}$，所以 $\frac{n}{75}=\frac{{{2}^{4}}\cdot {{3}^{4}}\cdot{{5}^{2}}}{75}=432$．
$\left( \alpha+1 \right)\cdot \left( \beta +1 \right)\cdot \left( \gamma +1 \right)=75$．于是 $\alpha+1$，$\beta +1$，$\gamma +1$ 都为奇数，所以 $\alpha $，$\beta $，$\gamma $ 都为偶数，因此 $\gamma $ 应取为2．由 $\left(\alpha +1 \right)\left( \beta +1 \right)\left( \gamma +1 \right)=75$，得 $\left(\alpha +1 \right)\left( \beta +1 \right)=25$．
（1）$\alpha +1=5$，$\beta +1=5$，$\alpha =4$，$\beta =4$，$n={{2}^{4}}\cdot {{3}^{4}}\cdot {{5}^{2}}$；
（2）$\alpha +1=1$，$\beta +1=25$，$\alpha =0$，$\beta =24$，$n={{2}^{0}}\cdot {{3}^{24}}\cdot {{5}^{2}}$．
从（1）和（2）知最小的正整数 $n$ 是 ${{2}^{4}}\cdot{{3}^{4}}\cdot {{5}^{2}}$，所以 $\frac{n}{75}=\frac{{{2}^{4}}\cdot {{3}^{4}}\cdot{{5}^{2}}}{75}=432$．
答案
解析
备注
