给出由121个整数组成的一个样本（即这些整数组成的一个集合），这些整数在1～1000（包括1和1000）允许重复出现，这个样本中有唯一的众数（即出现次数最多的数），设 $D$ 为众数与样本的算术平均值之差．
若让 $D$ 尽可能大，$\left[ D \right]$ 是多少（对实数 $x$，$\left[ x \right]$ 是小于或等于 $x$ 的最大的整数）？
若让 $D$ 尽可能大，$\left[ D \right]$ 是多少（对实数 $x$，$\left[ x \right]$ 是小于或等于 $x$ 的最大的整数）？
【难度】
【出处】
1989年第7届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
947
【解析】
设 ${{k}_{1}}$ 个 ${{a}_{1}}$，${{k}_{2}}$ 个 ${{a}_{2}}$，${{k}_{3}}$ 个 ${{a}_{3}}$，…，${{k}_{n}}$ 个 ${{a}_{n}}$ 及 $k$ 个 $a$ 为众数是从1～1000（包括1和1000）取得的121个整数，则 ${{k}_{1}}+{{k}_{2}}+{{k}_{3}}+\cdots+{{k}_{n}}+k=121$，
且 ${{k}_{1}}\leqslant{{k}_{2}}\leqslant {{k}_{3}}\leqslant \cdots \leqslant {{k}_{n}}<k\left( k\geqslant 2 \right)$，
$D=a-\frac{{{k}_{1}}{{a}_{1}}+{{k}_{2}}{{a}_{2}}+\cdots+{{k}_{n}}{{a}_{n}}+ka}{121}$
$=\frac{\left( {{k}_{1}}+{{k}_{2}}+\cdots+{{k}_{n}} \right)a-\left( {{k}_{1}}{{a}_{1}}+{{k}_{2}}{{a}_{2}}+\cdots+{{k}_{n}}{{a}_{n}} \right)}{121}$
欲使 $D$ 最大，$a$ 取1000．为方便起见，记 ${{S}_{k}}={{k}_{1}}{{a}_{1}}+{{k}_{2}}{{a}_{2}}+\cdots+{{k}_{n}}{{a}_{n}}+1000k$．
现要求 ${{S}_{k}}$ 的最小值，${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，…，${{a}_{n}}$ 要取尽可能小且小的数要尽可能多．
当 $k=2$ 时，${{S}_{2}}$ 最小值 $=\left(1+2+3+\cdots +119 \right)+1000\times 2=9140$；
当 $k=3$ 时，${{S}_{3}}$ 最小值 $=2\left(1+2+3+\cdots +59 \right)+3000=6540$；
当 $k=4$ 时，${{S}_{4}}$ 最小值 $=3\left(1+2+3+\cdots +39 \right)+4000=6340$；
当 $k=5$ 时，${{S}_{5}}$ 最小值 $=4\left(1+2+3+\cdots +29 \right)+5000=6740$；
当 $k=6$ 时，${{S}_{6}}$ 最小值 $=5\left(1+2+\cdots +23 \right)+6000=7380$．
又 ${{S}_{k}}>k\cdot1000$，当 $k=4$ 时，${{S}_{k}}$ 的值取最小．此时 $D=1000-\frac{{{S}_{k}}}{121}=1000-\frac{6340}{121}$ 为最大，
$\left[ D \right]=\left[ 1000-\frac{6340}{121}\right]=947$．
且 ${{k}_{1}}\leqslant{{k}_{2}}\leqslant {{k}_{3}}\leqslant \cdots \leqslant {{k}_{n}}<k\left( k\geqslant 2 \right)$，
$D=a-\frac{{{k}_{1}}{{a}_{1}}+{{k}_{2}}{{a}_{2}}+\cdots+{{k}_{n}}{{a}_{n}}+ka}{121}$
$=\frac{\left( {{k}_{1}}+{{k}_{2}}+\cdots+{{k}_{n}} \right)a-\left( {{k}_{1}}{{a}_{1}}+{{k}_{2}}{{a}_{2}}+\cdots+{{k}_{n}}{{a}_{n}} \right)}{121}$
欲使 $D$ 最大，$a$ 取1000．为方便起见，记 ${{S}_{k}}={{k}_{1}}{{a}_{1}}+{{k}_{2}}{{a}_{2}}+\cdots+{{k}_{n}}{{a}_{n}}+1000k$．
现要求 ${{S}_{k}}$ 的最小值，${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，…，${{a}_{n}}$ 要取尽可能小且小的数要尽可能多．
当 $k=2$ 时，${{S}_{2}}$ 最小值 $=\left(1+2+3+\cdots +119 \right)+1000\times 2=9140$；
当 $k=3$ 时，${{S}_{3}}$ 最小值 $=2\left(1+2+3+\cdots +59 \right)+3000=6540$；
当 $k=4$ 时，${{S}_{4}}$ 最小值 $=3\left(1+2+3+\cdots +39 \right)+4000=6340$；
当 $k=5$ 时，${{S}_{5}}$ 最小值 $=4\left(1+2+3+\cdots +29 \right)+5000=6740$；
当 $k=6$ 时，${{S}_{6}}$ 最小值 $=5\left(1+2+\cdots +23 \right)+6000=7380$．
又 ${{S}_{k}}>k\cdot1000$，当 $k=4$ 时，${{S}_{k}}$ 的值取最小．此时 $D=1000-\frac{{{S}_{k}}}{121}=1000-\frac{6340}{121}$ 为最大，
$\left[ D \right]=\left[ 1000-\frac{6340}{121}\right]=947$．
答案
解析
备注
