设 $a$，$b$，$c$ 是三角形的三边，$\alpha $，$\beta $，$\gamma $ 分别是相对于这三边的角，若 ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1989{{c}^{2}}$，求 $\frac{\cot \gamma }{\cot \alpha +\cot \beta }$．
【难度】
【出处】
1989年第7届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
994
【解析】
由余弦定理 ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos \gamma ={{c}^{2}}$，代入条件式得
$2ab\cos \gamma =1988{{c}^{2}}$，或 $\left(\frac{a}{b} \right)\left( \frac{b}{c} \right)\cos \gamma =994$．
由下正弦定理 $\frac{a}{c}=\frac{\sin\alpha }{\sin \gamma }$，$\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma }$，
于是 $\frac{\sin \alpha\sin \beta \cos \gamma }{{{\sin }^{2}}\gamma }=994$．
因为 $\alpha +\beta+\gamma =\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$，所以 $\alpha+\beta =\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\gamma $．从而 $\sin\left( \alpha +\beta \right)=\sin \gamma$．
$\frac{\cot \gamma }{\cot \alpha +\cot \beta}=\frac{\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma }{\sin \left( \alpha +\beta \right)\sin \gamma }=994$．
$2ab\cos \gamma =1988{{c}^{2}}$，或 $\left(\frac{a}{b} \right)\left( \frac{b}{c} \right)\cos \gamma =994$．
由下正弦定理 $\frac{a}{c}=\frac{\sin\alpha }{\sin \gamma }$，$\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma }$，
于是 $\frac{\sin \alpha\sin \beta \cos \gamma }{{{\sin }^{2}}\gamma }=994$．
因为 $\alpha +\beta+\gamma =\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$，所以 $\alpha+\beta =\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\gamma $．从而 $\sin\left( \alpha +\beta \right)=\sin \gamma$．
$\frac{\cot \gamma }{\cot \alpha +\cot \beta}=\frac{\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma }{\sin \left( \alpha +\beta \right)\sin \gamma }=994$．
答案
解析
备注
