一枚均匀的硬币掷10次，从不接连出现正面的概率为 $\frac{i}{j}$（即约分数），求 $i+j$．
【难度】
【出处】
1990年第8届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
73
【解析】
设掷10次硬币，不连续出现正面的次序数为 $N$，
（1）没有出现一次正面种数 $\text{C}_{10}^{0}=1$；
（2）出现一次正面的种数为 $\text{C}_{10}^{1}=10$；
（3）出现两次正面而没有连续出现正面的种数为 $\text{C}_{9}^{2}$；
（4）出现三次正面而没有连续出现正面的种数为 $\text{C}_{8}^{3}$；
（5）出现四次正面而没有连续出现正面的种数为 $\text{C}_{7}^{4}$；
（6）出现五次正面而没有连续出现正面的种数为 $\text{C}_{6}^{5}$．
所以 $N=\text{C}_{10}^{0}+\text{C}_{10}^{1}+\text{C}_{9}^{2}+\text{C}_{8}^{3}+\text{C}_{7}^{4}+\text{C}_{6}^{5}=144$，掷10次硬币出现正反面的所有不同次序种数为 $M={{2}^{10}}$，因此不连续出现正面的概率 $p=\frac{i}{j}=\frac{144}{{{2}^{10}}}=\frac{9}{64}$，
所以 $i+j=9+64=73$．
（1）没有出现一次正面种数 $\text{C}_{10}^{0}=1$；
（2）出现一次正面的种数为 $\text{C}_{10}^{1}=10$；
（3）出现两次正面而没有连续出现正面的种数为 $\text{C}_{9}^{2}$；
（4）出现三次正面而没有连续出现正面的种数为 $\text{C}_{8}^{3}$；
（5）出现四次正面而没有连续出现正面的种数为 $\text{C}_{7}^{4}$；
（6）出现五次正面而没有连续出现正面的种数为 $\text{C}_{6}^{5}$．
所以 $N=\text{C}_{10}^{0}+\text{C}_{10}^{1}+\text{C}_{9}^{2}+\text{C}_{8}^{3}+\text{C}_{7}^{4}+\text{C}_{6}^{5}=144$，掷10次硬币出现正反面的所有不同次序种数为 $M={{2}^{10}}$，因此不连续出现正面的概率 $p=\frac{i}{j}=\frac{144}{{{2}^{10}}}=\frac{9}{64}$，
所以 $i+j=9+64=73$．
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