若整数 $k$ 被加到36，300和596各个数上，得到一个等差数列的三个连续项的平方，求 $k$．
【难度】
【出处】
1989年第7届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
925
【解析】
由题意可设连续三项为 $a-d$，$a$，$a+d$，其中 $d$ 为所得到的等差数列的公差，则
$k+36={{\left( a-d \right)}^{2}}$，$k+300={{a}^{2}}$，
$k+596={{\left( a+d \right)}^{2}}\left( d>0\right)$，
且有 $\left( k+36 \right)+\left(k+596 \right)=2\left( {{a}^{2}}+{{d}^{2}} \right)$，
则 $k+316=k+300+16={{a}^{2}}+{{d}^{2}}$，$d=4$．
因为 $\left( k+596\right)-\left( k+36 \right)={{\left( a+d \right)}^{2}}-{{\left( a-d\right)}^{2}}=4ad$，所以 $a=35$．于是得到 $k=925$．
$k+36={{\left( a-d \right)}^{2}}$，$k+300={{a}^{2}}$，
$k+596={{\left( a+d \right)}^{2}}\left( d>0\right)$，
且有 $\left( k+36 \right)+\left(k+596 \right)=2\left( {{a}^{2}}+{{d}^{2}} \right)$，
则 $k+316=k+300+16={{a}^{2}}+{{d}^{2}}$，$d=4$．
因为 $\left( k+596\right)-\left( k+36 \right)={{\left( a+d \right)}^{2}}-{{\left( a-d\right)}^{2}}=4ad$，所以 $a=35$．于是得到 $k=925$．
答案
解析
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