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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21138 5c6a1a8f210b281db9f4c6b7 高中 解答题 自招竞赛 求方程 ${{x}^{2}}+18x+30=2\sqrt{{{x}^{2}}+18x+45}$ 的所有实根之积． 2022-04-17 20:16:06
21137 5c6a1cf5210b281dbaa932f9 高中 解答题 自招竞赛 一个机器零件的形状是一个有缺口的圆，如图所示，这个圆的半径是 $\sqrt{50}$，$AB$ 的长度是6，$BC$ 的长度是2，$\angle ABC$ 是直角．求点 $B$ 与圆心的距离的平方． 2022-04-17 20:15:06
21136 5c6a219f210b281dbaa93309 高中 解答题 自招竞赛 亚瑟王的25位骑士坐在他们的圆桌旁，选出3位骑士（选择哪三个，都是等概率的）去斩妖龙．设 $P$ 是选出的3位之中至少有两位座次相邻的概率．如果 $P$ 写成既约分数，求分子与分母的和． 2022-04-17 20:14:06
21135 5c6a21d9210b281dbaa93314 高中 解答题 自招竞赛 求 $f\left( x \right)=\frac{9{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}x+4}{x\sin x}\left( 0<x<\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ } \right)$ 的最小值． 2022-04-17 20:13:06
21134 5c6a21e0210b281db9f4c6de 高中 解答题 自招竞赛 1447，1005，1231这几个数有许多共同之处：它们都是四位数，最高位是1，都恰有两个相同的数字，一共有多少个这样的数？ 2022-04-17 20:13:06
21133 5c6a21f5210b281db9f4c6e4 高中 解答题 自招竞赛 图中的多面体的底面是边长为 $s$ 的正方形，上面的棱平行于底面，其长为 $2s$，其余的棱长都是 $s$，已知 $s=6\sqrt{2}$，求这个多面体的体积． 2022-04-17 20:12:06
21132 5c6a21fc210b281db9f4c6e9 高中 解答题 自招竞赛 一个圆的直径 $AB$ 的长度是两位的整数（十进制）．把两个数字颠倒一下，就是与直径 $AB$ 垂直的弦 $CD$ 的长度，如图所示．从交点 $H$ 到圆心 $O$ 的距离是一个正有理数，求 $AB$ 的长度． 2022-04-17 20:11:06
21131 5c6a2202210b281dbaa9331b 高中 解答题 自招竞赛 对于 $\left\{ 1, 2, 3 \cdots, n \right\}$ 和它的每个非空的子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（例如 $\left\{ 1, 2 ,4 ,6 ,9 \right\}$ 的交替和是 $9-6+4-2+1=6$，而 $\left\{ 5 \right\}$ 的交替和就是5）．对于 $n=7$，求所有这些交替和的总和． 2022-04-17 20:11:06
21130 5c6a220d210b281dbaa93320 高中 解答题 自招竞赛 图1-4中两圆的半径为8和6，两个圆心的距离是12，过两圆交点之一的直线被两圆截出相等的弦 $QP$ 和 $PR$，求 $QP$ 长度的平方． 2022-04-17 20:10:06
21129 5c6a2216210b281db9f4c6ef 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，一个圆的两弦相交，其中 $B$ 在 $\overset\frown{AD}$ 小弧上，设圆半径是5，$BC=6$，$AD$ 被 $BC$ 等分．又设从 $A$ 出发的弦只有 $AD$ 能被 $BC$ 等分，这样可以知道 $AB$ 小弧对应的圆心角的正弦是一个有理数．如果把这个有理数化成既约分数 $\frac{m}{n}$，求 $mn$． 2022-04-17 20:09:06
21128 5c6a3e9d210b281dbaa93335 高中 解答题 自招竞赛 $n$ 是具有下述性质的最小整数：它是15的倍数，而且每一位数字都是0或8，求 $\frac{n}{15}$． 2022-04-17 20:09:06
21127 5c6a3ea5210b281db9f4c700 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，$P$ 是 $\vartriangle ABC$ 内一点，过 $P$ 分别作直线平行于 $\vartriangle ABC$ 的各边，所形成的小三角形 ${{t}_{1}}$，${{t}_{2}}$ 与 ${{t}_{3}}$ 的面积分别是4，9和49．
求 $\vartriangle ABC$ 的面积．		 2022-04-17 20:08:06
21126 5c6a3eaf210b281dbaa9333c 高中 解答题 自招竞赛 设 $S$ 是一张由正整数（可以重复出现）组成的表，表中包含数68．$S$ 中的各数的算术平均值是56．但是，如果把68去掉，剩下的各数算术平均值就降为55．问可能在 $S$ 中出现的最大数是多少？ 2022-04-17 20:08:06
21125 5c6a3eb8210b281dbaa93341 高中 解答题 自招竞赛 如果 ${{\log }_{8}}a+{{\log }_{4}}{{b}^{2}}=5$，而且 ${{\log }_{8}}b+{{\log }_{4}}{{a}^{2}}=7$，求 $ab$． 2022-04-17 20:07:06
21124 5c6a3ebe210b281db9f4c707 高中 解答题 自招竞赛 三个圆，半径都是3．中心分别在 $\left( 14, 92 \right)$，$\left( 17 ,76 \right)$ 和 $\left( 19, 84 \right)$．过点 $\left( 17, 76 \right)$ 作一条直线，使得这三个圆位于这条直线某一侧的部分的面积和等于这三个圆位于这条直线另一侧的部分的面积和，求这条直线的斜率的绝对值． 2022-04-17 20:07:06
21123 5c6a3ec7210b281db9f4c70d 高中 解答题 自招竞赛 求函数 $f$ 定义在整数集合上，满足 $f\left( n \right)=\left\{ \begin{align}
& n-3 n\geqslant 1000 \\
& f\left( f\left( n+5 \right) \right) n<1000. \\
\end{align} \right.$ 求 $f\left( 84 \right)$．		 2022-04-17 20:06:06
21122 5c6a3ed7210b281dbaa93347 高中 解答题 自招竞赛 在四面体 $ABCD$ 中，$AB$ 棱长是 $3\operatorname{cm}$，$ABD$ 面的面积是 $15{{\operatorname{cm}}^{2}}$，$ABD$ 面的面积是 $12{{\operatorname{cm}}^{2}}$，这两个面的夹角是 $30{}^\circ $，求四面体的体积（以 ${{\operatorname{cm}}^{3}}$ 为单位）． 2022-04-17 20:06:06
21121 5c6a3ede210b281db9f4c719 高中 解答题 自招竞赛 玛丽在美国中学数学竞赛中得分在80分以上（这次测验有30个选择题，计分的公式是 $S=30+4C-W$，其中 $S$ 为分数，$C$ 是答对题数，$W$ 是答错的题数，允许不答）．她把自己的分数告诉了约翰，约翰能正确地推算出玛丽解答了几道题．如果玛丽的得分少一点，但还在80分以上，约翰就无法推算了．玛丽得了多少分？ 2022-04-17 20:05:06
21120 5c6a3ee6210b281dbaa9334d 高中 解答题 自招竞赛 一个园丁要把3棵枫树、4棵橡树和5棵桦树栽成一行．他随机确定这些树的排列顺序，各种不同的安排都是等概率的．用 $\frac{m}{n}$ 表示任何两棵桦树都不相邻的概率（化成最简分数以后），求 $m+n$． 2022-04-17 20:04:06
21119 5c6a44ba210b281db9f4c73b 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，把单位正方形的每边分为 $n$ 等分，再连接每个顶点与其相对顶点最近的分点，这样的正方形的内部作出了一个小正方形，如果小正方形（图中用阴影表示）的面积恰好是 $\frac{1}{1985}$，求 $n$ 的值． 2022-04-17 20:03:06
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