求 ${{\left( 52+6\sqrt{43} \right)}^{\frac{3}{2}}}-{{\left( 52-6\sqrt{43} \right)}^{\frac{3}{2}}}$ 的值．
【难度】
【出处】
1990年第8届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
828
【解析】
记 $a=\sqrt{52+6\sqrt{43}}=\sqrt{43}+3$，$b=\sqrt{52-6\sqrt{43}}=\sqrt{43}-3$，则
${{\left(52+6\sqrt{43} \right)}^{\frac{3}{2}}}-{{\left( 5-26\sqrt{43}\right)}^{\frac{3}{2}}}={{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left[ {{\left(a-b \right)}^{2}}+3ab \right]$
$=6\left[{{6}^{2}}+3\left( \sqrt{43}+3 \right)\left( \sqrt{43}-3 \right) \right]$
$=828$．
${{\left(52+6\sqrt{43} \right)}^{\frac{3}{2}}}-{{\left( 5-26\sqrt{43}\right)}^{\frac{3}{2}}}={{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left[ {{\left(a-b \right)}^{2}}+3ab \right]$
$=6\left[{{6}^{2}}+3\left( \sqrt{43}+3 \right)\left( \sqrt{43}-3 \right) \right]$
$=828$．
答案
解析
备注
