求方程 $\frac{1}{{{x}^{2}}-10x-29}+\frac{1}{{{x}^{2}}-10x-45}-\frac{2}{{{x}^{2}}-10x-69}=0$ 的正数解．
【难度】
【出处】
1990年第8届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
13
【解析】
将原方程变形为 $\frac{1}{{{x}^{2}}-10x-29}-\frac{1}{{{x}^{2}}-10x-69}=\frac{1}{{{x}^{2}}-10x-69}-\frac{1}{{{x}^{2}}-10x-45}$，
所以 $\frac{-40}{\left({{x}^{2}}-10x-29 \right)\left( {{x}^{2}}-10x-69 \right)}=\frac{24}{\left({{x}^{2}}-10x-69 \right)\left( {{x}^{2}}-10x-45 \right)}$．
整理得 $3\left({{x}^{2}}-10x-29 \right)+5\left( {{x}^{2}}-10x-45 \right)=0$，
所以 $8{{x}^{2}}-80x-312=0$，${{x}^{2}}-10x-39=0$，${{x}_{1}}=13$，${{x}_{2}}=-3$．
因此原方程的正数解 $x=13$．
所以 $\frac{-40}{\left({{x}^{2}}-10x-29 \right)\left( {{x}^{2}}-10x-69 \right)}=\frac{24}{\left({{x}^{2}}-10x-69 \right)\left( {{x}^{2}}-10x-45 \right)}$．
整理得 $3\left({{x}^{2}}-10x-29 \right)+5\left( {{x}^{2}}-10x-45 \right)=0$，
所以 $8{{x}^{2}}-80x-312=0$，${{x}^{2}}-10x-39=0$，${{x}_{1}}=13$，${{x}_{2}}=-3$．
因此原方程的正数解 $x=13$．
答案
解析
备注
