给定一个有理数，将它写成最简分数的形式并计算这时分子与分母的乘积．试问在0和1之间有多少个有理数按上面方式得到的乘积恰好是20！？
【难度】
【出处】
1991年第9届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
128
【解析】
最简分数的分子和分母是互素的，也就是分子的素因子不是分母的分子，分母的素因子也不是分子的因子．数 $20!$ 共有8个素因子，它们是2，3，5，7，11，13，17和19．将它们分别作为最简分数的分母的因子和分子的因子，这八个素因子的每一个分配都唯一地确定了分子分母之积是 $20!$ 的一个最简分数．所有的分派共有 ${{2}^{8}}=256$ 种．但它们并不都小于1．事实上，这些数两两配对互为倒数．所以，具有题中所述性质的有理数共有128个．
答案
解析
备注
