按二项式定理将 ${{\left( 1+0.2 \right)}^{1000}}$ 展开如下：
$\text{C}_{1000}^{0}{{\left( 0.2 \right)}^{0}}+\text{C}_{1000}^{1}{{\left( 0.2 \right)}^{1}}+\text{C}_{1000}^{2}{{\left( 0.2 \right)}^{2}}+\cdots +\text{C}_{1000}^{1000}{{\left( 0.2 \right)}^{1000}}={{A}_{0}}+{{A}_{1}}+{{A}_{2}}+\cdots +{{A}_{1000}}$．
其中 ${{A}_{k}}=\text{C}_{1000}^{k}{{\left( 0.2 \right)}^{k}}$，$k=0 1 2 \cdots 1000$．
问对哪个 $k$，${{A}_{k}}$ 最大？
$\text{C}_{1000}^{0}{{\left( 0.2 \right)}^{0}}+\text{C}_{1000}^{1}{{\left( 0.2 \right)}^{1}}+\text{C}_{1000}^{2}{{\left( 0.2 \right)}^{2}}+\cdots +\text{C}_{1000}^{1000}{{\left( 0.2 \right)}^{1000}}={{A}_{0}}+{{A}_{1}}+{{A}_{2}}+\cdots +{{A}_{1000}}$．
其中 ${{A}_{k}}=\text{C}_{1000}^{k}{{\left( 0.2 \right)}^{k}}$，$k=0 1 2 \cdots 1000$．
问对哪个 $k$，${{A}_{k}}$ 最大？
【难度】
【出处】
1991年第9届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
166
【解析】
对 $1\leqslant k\leqslant 1000$，
$\frac{{{A}_{k}}}{{{A}_{k-1}}}=\frac{\frac{1000!}{k!\left(1000-k \right)!}{{\left( 0.2 \right)}^{k}}}{\frac{1000!}{\left( k-1\right)!\left( 1001-k \right)!}{{\left( 0.2 \right)}^{k-1}}}$ $=\frac{1001-k}{k}\left(0.2 \right)$．
当且仅当 $1001-k>5k$ 时，这个比大于1．即 $k\leqslant 166$ 时，上述比值大于1．
当且仅当 $1001-k<5k$ 时，这个比小于1．即 $k>166$ 时，上述比值小于1．
于是 ${{A}_{0}}<{{A}_{1}}<\cdots<{{A}_{166}}$，且 ${{A}_{166}}>{{A}_{167}}>\cdots >{{A}_{1000}}$．
因此，$k=166$ 时 ${{A}_{k}}$ 为最大．
$\frac{{{A}_{k}}}{{{A}_{k-1}}}=\frac{\frac{1000!}{k!\left(1000-k \right)!}{{\left( 0.2 \right)}^{k}}}{\frac{1000!}{\left( k-1\right)!\left( 1001-k \right)!}{{\left( 0.2 \right)}^{k-1}}}$ $=\frac{1001-k}{k}\left(0.2 \right)$．
当且仅当 $1001-k>5k$ 时，这个比大于1．即 $k\leqslant 166$ 时，上述比值大于1．
当且仅当 $1001-k<5k$ 时，这个比小于1．即 $k>166$ 时，上述比值小于1．
于是 ${{A}_{0}}<{{A}_{1}}<\cdots<{{A}_{166}}$，且 ${{A}_{166}}>{{A}_{167}}>\cdots >{{A}_{1000}}$．
因此，$k=166$ 时 ${{A}_{k}}$ 为最大．
答案
解析
备注
