递增数列2，3，5，6，7，10，11，…由所有既不是平方数，又不是立方数的正整数组成，求这个数列的第500项．
【难度】
【出处】
1990年第8届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
528
【解析】
先计算500是数列的第几项．因为 ${{22}^{2}}<500<{{23}^{2}}$，所以1～500有22个平方数．因为 ${{7}^{3}}<500<{{8}^{3}}$，所以1～500有7个立方数．而在1～500中，既是平方数，又是立方数有1和 ${{2}^{6}}$ 两个数，所以1～500中，有 $27\left( 22+7-2\right)$ 个整数是平方数或立方数．故知500是第473项，即 ${{a}_{473}}=500$．
现求 ${{a}_{500}}$ 的值．从第473项到第500项有27项，于是可考虑501～527中有多少个是平方数、立方数，由计算知，只有一个整数 $512={{8}^{3}}$．所以 ${{a}_{500}}=528$．
现求 ${{a}_{500}}$ 的值．从第473项到第500项有27项，于是可考虑501～527中有多少个是平方数、立方数，由计算知，只有一个整数 $512={{8}^{3}}$．所以 ${{a}_{500}}=528$．
答案
解析
备注
