题目

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$P$ 是 $\vartriangle ABC$ 内一点，引线段 $APD$，$BPE$ 和 $CPF$，使 $D$ 在 $BC$ 上，$E$ 在 $CA$ 上，$F$ 在 $AB$ 上，已知 $AP=6$，$BP=9$，$PD=6$，$PE=3$ 和 $CF=20$．求 $\vartriangle ABC$ 的面积．

【难度】

【出处】

1989年第7届美国数学邀请赛（AIME）

【标注】

知识点
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三角
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解三角形
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余弦定理
知识点
>
平面几何

【答案】

108

【解析】

用 $\alpha $，…，${\gamma }'$ 表示各小三角形面积如图所示．显然 $\alpha+{\gamma }'=\gamma $，${\beta }'+\gamma =3{\gamma }'$，${\beta }'=3\alpha $．

由此解出 ${\gamma}'=2\alpha $，$\gamma=3\alpha ={\beta }'$，${\beta }'=3\alpha $．
所以 $BD=DC$．又 $\beta/{\alpha }'=\left( {\beta }'+\gamma \right)/\left( \alpha +{\gamma }' \right)=6\alpha /3\alpha =2={\gamma}'/\alpha $．所以 $BF/FA=CE/EA$．于是 $FE\parallel BC$，$CP/PF=BP/PE=3$．因为 $CF=20$，所以 $CP=15$．处长 $PD$ 至 ${P}'$，使 $D{P}'=PD$，则 $\vartriangle BD{P}'\vartriangle CDP$，${{S}_{\vartriangle BPC}}={{S}_{\vartriangle BP{P}'}}$．$\vartriangle BP{P}'$ 半周长为 $\frac{1}{2}\left( 9+12+15 \right)=18$，
${{S}_{\vartriangle BP{P}'}}=\sqrt{18\cdot 9\cdot 6\cdot 3}=9\cdot 6=54$．
${{S}_{\vartriangle ABC}}=2{{S}_{\vartriangle BP{P}'}}=108$．

答案解析备注

易知 ${{S}_{\vartriangle PAB}}={{S}_{\vartriangle PBD}}={{S}_{\vartriangle PDC}}={{S}_{\vartriangle PCA}}$， 所以 $\frac{PC}{FC}=\frac{{{S}_{\vartriangle PCA}}}{{{S}_{\vartriangle AFC}}}$，$PC=\frac{3}{4}\times 20=15$． 如图所示，处长 $BP$ 至 $G$，使 $PG=BP$，则有 $ABDG$ 是平行四边形，又因 $BD=DC$，所以 $C{{G}^{2}}+P{{G}^{2}}=144+81=225=P{{C}^{2}}$， 从而 $CG\bot PG$，即 $AD\bot BG$．所以 ${{S}_{\vartriangle ABC}}={{S}_{ABDG}}\text{=}\frac{1}{2}AD\times BG=108$．<img src="/static/images/05182df971575154783c96bf2eeac316.png" class="img-responsive" />$\frac{PF}{CF}+\frac{PE}{BE}+\frac{DP}{AD}=1$，即 $\frac{PF}{20}+\frac{3}{12}+\frac{6}{12}=1$，$PF=5$，$CP=15$．（4） 设 $\vartriangle APE$，$\vartriangle APF$，$\vartriangle CEP$ 的面积分别为 ${{S}_{1}}$，${{S}_{2}}$，${{S}_{3}}$，如图所示，则 $\vartriangle BPD$，$\vartriangle CPD$，$\vartriangle BPF$ 的面积分别为 $3{{S}_{1}}$，$3{{S}_{2}}$，${{S}_{3}}$．因为 $AP=PD=6$，所以 ${{S}_{\vartriangle APC}}={{S}_{\vartriangle CPD}}$，${{S}_{\vartriangle APB}}={{S}_{\vartriangle DPB}}$， 即 ${{S}_{1}}+{{S}_{3}}=3{{S}_{2}}$，${{S}_{2}}+{{S}_{3}}=3{{S}_{1}}$，${{S}_{1}}={{S}_{2}}$，${{S}_{3}}=2{{S}_{1}}=2{{S}_{2}}$．（5）<img src="/static/images/306b0afaf806c521af83f7a89240bce6.png" class="img-responsive" />因为 ${{S}_{\vartriangle CPD}}=3{{S}_{2}}$，${{S}_{\vartriangle BPD}}=3{{S}_{1}}$，所以 ${{S}_{\vartriangle CPD}}={{S}_{\vartriangle BPD}}$，$CD=BD$． 在 $\vartriangle PCB$ 中，由中线定理得 $B{{C}^{2}}=2\left(C{{P}^{2}}+B{{P}^{2}} \right)-4P{{D}^{2}}$． 由余弦定理得 $\cos \angle CPB=\frac{P{{C}^{2}}+P{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}}{2\times PB\times PC}=-\frac{3}{5}$． 所以 $\sin \angle CPB=\frac{4}{5}$． ${{S}_{\vartriangle CPB}}=\frac{1}{2}PC\cdot PB\cdot \sin \angle CPB$ $=\frac{1}{2}\times15\times 9\times \frac{4}{5}=54$． 因此 ${{S}_{\vartriangle ABC}}=2{{S}_{\vartriangle CPB}}=2\times 54=108$．