设 ${{P}_{1}}$ 是正 $r$ 边形，${{P}_{2}}$ 是正 $s$ 边形 $\left( r\geqslant s\geqslant 3 \right)$，${{P}_{1}}$ 的内角与 ${{P}_{2}}$ 的内角之比是 $\frac{59}{58}$，$s$ 可能取的最大值是几？
【难度】
【出处】
1990年第8届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
117
【解析】
${{P}_{1}}$ 的内角为 $\frac{\left( r-2\right)\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{r}$，${{P}_{2}}$ 的内角为 $\frac{\left(s-2 \right)\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{s}$．由条件知 $\frac{\left(r-2 \right)\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{r}:\frac{\left( s-2 \right)\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{s}=59:58$，
则有 $\frac{s\left( r-2\right)}{r\left( s-2 \right)}=\frac{59}{58}$，
所以 $118r-116s=rs$，$r=\frac{116s}{118-s}$．
因为 $r>0$，所以 $118-s>0$，即 $s\leqslant 117$．
因此，$s$ 可能取的最大值是117．
则有 $\frac{s\left( r-2\right)}{r\left( s-2 \right)}=\frac{59}{58}$，
所以 $118r-116s=rs$，$r=\frac{116s}{118-s}$．
因为 $r>0$，所以 $118-s>0$，即 $s\leqslant 117$．
因此，$s$ 可能取的最大值是117．
答案
解析
备注
