如果 $x$ 和 $y$ 为正整数，且 $xy+x+y=71$，${{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}=880$．求 ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$．
【难度】
【出处】
1991年第9届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
146
【解析】
设 $a=x+y$，$b=xy$，由题中给出的等式可知
$a+b=71$，$ab=880$．
由此得 $\left\{ a, b\right\}=\left\{ 16 ,55 \right\}$，
即 $x+y=55$，$xy=16$；（1）
或 $x+y=16$，$xy=55$．（2）
易证，（1）没有整数解，而（2）有整数解；$\left\{x ,y \right\}=\left\{ 5, 11 \right\}$，进而推出 ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{5}^{2}}+{{11}^{2}}=146$．
$a+b=71$，$ab=880$．
由此得 $\left\{ a, b\right\}=\left\{ 16 ,55 \right\}$，
即 $x+y=55$，$xy=16$；（1）
或 $x+y=16$，$xy=55$．（2）
易证，（1）没有整数解，而（2）有整数解；$\left\{x ,y \right\}=\left\{ 5, 11 \right\}$，进而推出 ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{5}^{2}}+{{11}^{2}}=146$．
答案
解析
备注
