求方程 ${{x}^{2}}+18x+30=2\sqrt{{{x}^{2}}+18x+45}$ 的所有实根之积．
【难度】
【出处】
1983年第1届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
20
【解析】
用代换法化简．令 $u$ 是使 ${{u}^{2}}={{x}^{2}}+18x+45$ 的非负数（这种 $u$ 一定存在，因为当 ${{x}^{2}}+18x+45$ 为负数时，方程右端无意义）．所以
${{u}^{2}}+15=2\sqrt{{{u}^{2}}}=2u$（因为 $u\geqslant0$），
${{u}^{2}}-2u-15=0$，
$\left( u-5 \right)\left( u+3 \right)=0$．
因为 $u\geqslant 0$，我们得到 $u=5$．也就是说 $x$ 是原方程解的充分必要条件是 ${{x}^{2}}+18x+45={{5}^{2}}$，就是 ${{x}^{2}}+18x+20=0$，因为 $\Delta ={{18}^{2}}-4\times20>0$，所以这个方程有两个实根，它们的乘积是常数项20．
${{u}^{2}}+15=2\sqrt{{{u}^{2}}}=2u$（因为 $u\geqslant0$），
${{u}^{2}}-2u-15=0$，
$\left( u-5 \right)\left( u+3 \right)=0$．
因为 $u\geqslant 0$，我们得到 $u=5$．也就是说 $x$ 是原方程解的充分必要条件是 ${{x}^{2}}+18x+45={{5}^{2}}$，就是 ${{x}^{2}}+18x+20=0$，因为 $\Delta ={{18}^{2}}-4\times20>0$，所以这个方程有两个实根，它们的乘积是常数项20．
答案
解析
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