求 $f\left( x \right)=\frac{9{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}x+4}{x\sin x}\left( 0<x<\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ } \right)$ 的最小值．
【难度】
【出处】
1983年第1届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
12
【解析】
用分母除分子，得到 $f\left( x \right)=9x\sin x+\frac{4}{x\sin x}$，
把右端第一项记作 $u$，第二项记作 $v$，注意 $uv$ 是常量．这提示我们使用算术几何平均值不等式 $\frac{u+v}{2}\geqslant \sqrt{uv}$．其中 $u$，$v$ 是任何非负数，而等号成立的充要条件是 $u=v$．把这个不等式用于这里的 $u$，$v$ 得到 $\frac{f\left( x \right)}{2}\geqslant \sqrt{9\times 4}$，就是 $f\left( x\right)\geqslant 12$．12这个值确实能达到的充要条件是有这样的 $x$，使 $9x\sin x=\frac{4}{x\sin x}$，即 ${{x}^{2}}{{\sin}^{2}}x=\frac{4}{9}$．
易知 $g\left( x\right)={{x}^{2}}{{\sin }^{2}}x$ 是关于 $x$ 的连续函数，因为当 $x=0$ 时，${{x}^{2}}{{\sin }^{2}}x$ 为0，当 $x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$ 时，${{x}^{2}}{{\sin}^{2}}x$ 大于1，所以当 $x$ 取0与 $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$ 之间的某个值时，${{x}^{2}}{{\sin}^{2}}x$ 会等于 $\frac{4}{9}$，所以 $f\left( x \right)$ 的最小值是12．
把右端第一项记作 $u$，第二项记作 $v$，注意 $uv$ 是常量．这提示我们使用算术几何平均值不等式 $\frac{u+v}{2}\geqslant \sqrt{uv}$．其中 $u$，$v$ 是任何非负数，而等号成立的充要条件是 $u=v$．把这个不等式用于这里的 $u$，$v$ 得到 $\frac{f\left( x \right)}{2}\geqslant \sqrt{9\times 4}$，就是 $f\left( x\right)\geqslant 12$．12这个值确实能达到的充要条件是有这样的 $x$，使 $9x\sin x=\frac{4}{x\sin x}$，即 ${{x}^{2}}{{\sin}^{2}}x=\frac{4}{9}$．
易知 $g\left( x\right)={{x}^{2}}{{\sin }^{2}}x$ 是关于 $x$ 的连续函数，因为当 $x=0$ 时，${{x}^{2}}{{\sin }^{2}}x$ 为0，当 $x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$ 时，${{x}^{2}}{{\sin}^{2}}x$ 大于1，所以当 $x$ 取0与 $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$ 之间的某个值时，${{x}^{2}}{{\sin}^{2}}x$ 会等于 $\frac{4}{9}$，所以 $f\left( x \right)$ 的最小值是12．
答案
解析
备注
