设 $S$ 是一张由正整数（可以重复出现）组成的表，表中包含数68．$S$ 中的各数的算术平均值是56．但是，如果把68去掉，剩下的各数算术平均值就降为55．问可能在 $S$ 中出现的最大数是多少？
【难度】
【出处】
1984年第2届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
649
【解析】
设 $n$ 表示 $S$ 中正整数的个数，则这 $n$ 个数的总和为 $56n$．去掉 $68$ 后的 $n-1$ 个数总和为 $55\left( n-1 \right)$，故得 $56n-55\left( n-1 \right)=68$，解得 $n=13$．除去68后 $S$ 中其余12个数总和为 $55\times12=660$．为了使这12个数中出现一个最大的数，应使其他的数尽可能地小．为此，$S$ 中应有11个1，可能出现的最大数为 $660-11=649$．
答案
解析
备注
