如图所示，$P$ 是 $\vartriangle ABC$ 内一点，过 $P$ 分别作直线平行于 $\vartriangle ABC$ 的各边，所形成的小三角形 ${{t}_{1}}$，${{t}_{2}}$ 与 ${{t}_{3}}$ 的面积分别是4，9和49．
求 $\vartriangle ABC$ 的面积．
求 $\vartriangle ABC$ 的面积．
【难度】
【出处】
1984年第2届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
144
【解析】
设 $MP=p$，$PN=q$，$RT=r$，由于三角形 ${{t}_{1}}$，${{t}_{2}}$，${{t}_{3}}$ 都和 $\vartriangle ABC$ 相似，因此，面积平方根之比等于对应边之比．
设 $AB=c$，$\vartriangle ABC$ 面积为 $S$，则有 $\frac{2}{\sqrt{S}}=\frac{q}{c}$，$\frac{3}{\sqrt{S}}=\frac{p}{c}$，$\frac{7}{\sqrt{S}}=\frac{r}{c}$．
三式相加得 $\frac{2+3+7}{\sqrt{S}}=\frac{p+q+r}{c}=\frac{c}{c}=1$．
所以 $\sqrt{S}=12$，$S=144$．
设 $AB=c$，$\vartriangle ABC$ 面积为 $S$，则有 $\frac{2}{\sqrt{S}}=\frac{q}{c}$，$\frac{3}{\sqrt{S}}=\frac{p}{c}$，$\frac{7}{\sqrt{S}}=\frac{r}{c}$．
三式相加得 $\frac{2+3+7}{\sqrt{S}}=\frac{p+q+r}{c}=\frac{c}{c}=1$．
所以 $\sqrt{S}=12$，$S=144$．
答案
解析
备注
