如果 ${{\log }_{8}}a+{{\log }_{4}}{{b}^{2}}=5$，而且 ${{\log }_{8}}b+{{\log }_{4}}{{a}^{2}}=7$，求 $ab$．
【难度】
【出处】
1984年第2届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
512
【解析】
将题设两式相加，由对数性质可得 ${{\log }_{8}}ab+{{\log }_{4}}{{a}^{2}}{{b}^{2}}=12$．
据换底公式可得 $\frac{{{\log}_{2}}ab}{3}+{{\log }_{2}}ab=12$，
即 $\frac{4}{3}{{\log}_{2}}ab=12$，${{\log }_{2}}ab=9$．所以 $ab={{2}^{9}}=512$．
据换底公式可得 $\frac{{{\log}_{2}}ab}{3}+{{\log }_{2}}ab=12$，
即 $\frac{4}{3}{{\log}_{2}}ab=12$，${{\log }_{2}}ab=9$．所以 $ab={{2}^{9}}=512$．
答案
解析
备注
