对于 $\left\{ 1, 2, 3 \cdots, n \right\}$ 和它的每个非空的子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（例如 $\left\{ 1, 2 ,4 ,6 ,9 \right\}$ 的交替和是 $9-6+4-2+1=6$，而 $\left\{ 5 \right\}$ 的交替和就是5）．对于 $n=7$，求所有这些交替和的总和．
【难度】
【出处】
1983年第1届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
448
【解析】
显然，集合 $\left\{ 1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7 \right\}$ 的非空子集共有 ${{2}^{7}}-1=127$ 个．而每个元素在子集中均出现 ${{2}^{6}}=64$ 次．
按照题目要求，1，2，3，4，5，6在子集中的排列各有32次在奇数位，32次在偶数位，因此子集中这些数的交替和为0，而7也出现64次，且均取正值，所以所有子集的交替和的总和为 $7\times 64=448$．
按照题目要求，1，2，3，4，5，6在子集中的排列各有32次在奇数位，32次在偶数位，因此子集中这些数的交替和为0，而7也出现64次，且均取正值，所以所有子集的交替和的总和为 $7\times 64=448$．
答案
解析
备注
