一个园丁要把3棵枫树、4棵橡树和5棵桦树栽成一行．他随机确定这些树的排列顺序，各种不同的安排都是等概率的．用 $\frac{m}{n}$ 表示任何两棵桦树都不相邻的概率（化成最简分数以后），求 $m+n$．
【难度】
【出处】
1984年第2届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
106
【解析】
12棵树的不同排列顺序共有 $12!$ 种，设其中有 $k$ 种顺序是任何两棵桦树不相邻的，则所求概率是 $\frac{k}{12!}$．现在求 $k$．
我们用7个N表示非桦树（枫树或橡树），那么在 ① N ② N ③ N ④ N ⑤ N ⑥ N ⑦ N ⑧
中8个空位“-”中可以选取5个作为桦树．7棵非桦树的排列方法，有 $7!$ 种，对每一种有 $8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4$ 种办法安排桦树．于是求出 $k=\left( 7! \right)8\cdot 7\cdot6\cdot 5\cdot 4$．所求概率为
$\frac{k}{12!}=\frac{\left(7! \right)8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4}{12!}=\frac{7}{99}$，
即 $\frac{m}{n}=\frac{7}{99}$．因此 $m+n=106$．
我们用7个N表示非桦树（枫树或橡树），那么在 ① N ② N ③ N ④ N ⑤ N ⑥ N ⑦ N ⑧
中8个空位“-”中可以选取5个作为桦树．7棵非桦树的排列方法，有 $7!$ 种，对每一种有 $8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4$ 种办法安排桦树．于是求出 $k=\left( 7! \right)8\cdot 7\cdot6\cdot 5\cdot 4$．所求概率为
$\frac{k}{12!}=\frac{\left(7! \right)8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4}{12!}=\frac{7}{99}$，
即 $\frac{m}{n}=\frac{7}{99}$．因此 $m+n=106$．
答案
解析
备注
