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求函数 $f$ 定义在整数集合上，满足 $f\left( n \right)=\left\{ \begin{align}
& n-3 n\geqslant 1000 \\
& f\left( f\left( n+5 \right) \right) n<1000. \\
\end{align} \right.$ 求 $f\left( 84 \right)$．
【难度】
【出处】
1984年第2届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数方程
【答案】
997
【解析】
先从接近于1000的 $n$ 值计算 $f\left( n\right)$，看 $n<1000$ 时有何规律．应用 $f$ 的递归定义，可以算出
$\left\{\begin{align}
& f\left( 999 \right)=f\left( f\left(1004 \right) \right)=f\left( 1001 \right)=998 \\
& f\left( 998 \right)=f\left( f\left( 1003\right) \right)=f\left( 1000 \right)=997 \\
& f\left( 997 \right)=f\left( f\left( 1002\right) \right)=f\left( 999 \right)=998 \\
& f\left( 996 \right)=f\left( f\left( 1001\right) \right)=f\left( 998 \right)=997 \\
& f\left( 995 \right)=f\left( f\left( 1000\right) \right)=f\left( 997 \right)=998 \\
\end{align}\right.$（2-3）
由引可以作如下猜测：
$f\left( n \right)=\left\{ \begin{align}
& 997 n1000 \\
& 998 n1000. \\
\end{align} \right.$（2-4）
用倒推归纳证明式（2-4）．由于 $f\left( n\right)$ 定义关系到 $f\left( n+5 \right)$，我们首先验证 $n=999 998 997 996 995$ 时（2-4）成立．这已如（2-3）所验证．假设对 $n<m<1000$ 的 $m$ 值，式（2-4）成立，我们证明 $f\left(n \right)$ 关于式（2-4）也成立．事实上，$n+5$ 即为某一 $m$ 值，故有 $f\left(n \right)=f\left( f\left( n+5 \right) \right)=\left\{ \begin{align}
& f\left( 997 \right)=998 n+5 \\
& f\left( 998 \right)=997 n+5. \\
\end{align}\right.$
由于 $n+5$ 是奇数时 $n$ 为偶数，$n+5$ 是偶数时 $n$ 为奇数，这样就证明了式（2-4）成立．特别地，应用 $f\left(84 \right)=997$．
答案 解析 备注
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