玛丽在美国中学数学竞赛中得分在80分以上（这次测验有30个选择题，计分的公式是 $S=30+4C-W$，其中 $S$ 为分数，$C$ 是答对题数，$W$ 是答错的题数，允许不答）．她把自己的分数告诉了约翰，约翰能正确地推算出玛丽解答了几道题．如果玛丽的得分少一点，但还在80分以上，约翰就无法推算了．玛丽得了多少分？
【难度】
【出处】
1984年第2届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
119分
【解析】
已知 $S=30+4C-W>80$，问题要求找到最小的这样的 $S$，与它对应的 $C$ 是唯一的．首先，注意到 $C$ 增1，$W$ 增4，$S$ 值不变，但要满足 $\left(C+1 \right)+\left( W+4 \right)\leqslant 30$，即 $C+W\leqslant 25$．在 $C+W\leqslant 25$ 时，对同一个 $S$，不能唯一确定 $C$ 值，因此只有 $C+W\ge26$，（2-5）
才可能唯一地确定 $C$ 值．其次，应有 $W\leqslant 3$．（2-6）
否则，若 $W>3$，可使 $W$ 减4，$C$ 减1而得到 $S$ 值不变（因从 $S>80$ 得出 $C\geqslant 3$，这也是可能的）．于是，为了使 $S$ 尽可能地小，我们应在不等式（2-5）与（2-6）许可的范围内，尽量减少 $C$，尽量增大 $W$．这导致 $W=3$，$C=23$，所以 $S=30+4\times23-3=119$，
即玛丽得了119分．
才可能唯一地确定 $C$ 值．其次，应有 $W\leqslant 3$．（2-6）
否则，若 $W>3$，可使 $W$ 减4，$C$ 减1而得到 $S$ 值不变（因从 $S>80$ 得出 $C\geqslant 3$，这也是可能的）．于是，为了使 $S$ 尽可能地小，我们应在不等式（2-5）与（2-6）许可的范围内，尽量减少 $C$，尽量增大 $W$．这导致 $W=3$，$C=23$，所以 $S=30+4\times23-3=119$，
即玛丽得了119分．
答案
解析
备注
