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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
26978 591265fbe020e7000878f6fc 高中 解答题 自招竞赛 已知向量 $\overrightarrow {OA} $ 与 $\overrightarrow {OB} $ 夹角为 $\alpha $，$\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = 1 $，$ \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = 2 $，$ \overrightarrow {OP} = \left({1 - t} \right)\overrightarrow {OA} $，$ \overrightarrow {OQ} = t\overrightarrow {OB} $，$ 0 \leqslant t \leqslant 1 $．$ \left| {\overrightarrow {PQ} } \right| $ 在 $ t = {t_0} $ 时取得最小值，问当 $ 0 < {t_0} < \dfrac{1}{5} $ 时，夹角 $ \alpha $ 的取值范围． 2022-04-17 20:58:59
26977 59126633e020e7000878f6ff 高中 解答题 高考真题 设函数 $f(x)=ax^2-a-\ln x$，其中 $a\in\mathbb R$． 2022-04-17 20:57:59
26976 591266a4e020e7000a7989c5 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的 ${a_1} = 1 , {a_2} = 3$，$3{a_{n + 2}} = 2{a_{n + 1}} + {a_n}$，求 ${a_n}$ 和 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}$． 2022-04-17 20:57:59
26975 591266afe020e70007fbebbc 高中 解答题 自招竞赛 求三条直线 $x+y=60$，$y=\dfrac12x$，$y=0$ 所围成三角形上的整点个数； 2022-04-17 20:56:59
26974 591266c7e020e7000878f70a 高中 解答题 自招竞赛 是否存在 $0 < x < \dfrac{\pi }{2}$，使得 $\sin x,\cos x, \tan x, \cot x$ 为组成等差数列的四个数（即某种排列可以构成等差数列），请说明理由． 2022-04-17 20:56:59
26973 591266f4e020e7000878f70e 高中 解答题 自招竞赛 $3$ 个自然数倒数和为 $1$．求所有的解． 2022-04-17 20:55:59
26972 595b2f94866eeb0008b1da38 高中 解答题 高考真题 已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 $P\left(\sqrt 3,\dfrac 12\right)$ 在椭圆 $E$ 上． 2022-04-17 20:55:59
26971 5912674fe020e7000a7989d1 高中 解答题 自招竞赛 对于集合 $M\subseteq \mathbb{R}^2$，当且仅当 $\forall P_0\in M,\exists r>0$，使得 $\{P\in\mathbb{R}^2\mid |PP_0|<r\}\subseteq M$ 时称 $M$ 为开集．判断集合 $\{(x,y) \mid 4x+2y-5>0\}$ 与 $\{(x,y)\mid x\geqslant0,y>0\}$ 是否为开集，并证明你的结论． 2022-04-17 20:55:59
26970 5912676ce020e70007fbebc1 高中 解答题 自招竞赛 在一个双向无穷等比数列中，有三项：$\sin x,\cos x,\tan x$，求证：$\cot x$ 是该数列的一项． 2022-04-17 20:54:59
26969 59126771e020e700094b0a89 高中 解答题 自招竞赛 化简： 2022-04-17 20:53:59
26968 5912678de020e7000878f717 高中 解答题 自招竞赛 求证：$(\tan x)^{\sin x}+(\cot x)^{\cos x}\geqslant 2$，其中 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$． 2022-04-17 20:53:59
26967 591267b4e020e70007fbebc4 高中 解答题 自招竞赛 已知三条抛物线 $P_1:y=x^2+b_1x+c_1$，$P_2:y=x^2+b_2x+c_2$，$P_3:y=ax^2+bx+c$，且 $P_1,P_2$ 与 $P_3$ 相切．求证：$P_1,P_2$ 与 $P_3$ 各自切点的连线与 $P_1,P_2$ 的公切线平行． 2022-04-17 20:53:59
26966 591267d4e020e700094b0a8f 高中 解答题 自招竞赛 求证：$\dfrac{{{a^3} + 2a}}{{{a^4} + 3{a^2} + 1}}$ 为最简分式． 2022-04-17 20:52:59
26965 596341923cafba0009670e8c 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f(x)=|\lg(x+1)|$，实数 $a,b(a<b)$ 满足 $f(a)=f\left(-\dfrac{b+1}{b+2}\right)$，$f(10a+6b+21)=4\lg 2$，求 $a,b$ 的值． 2022-04-17 20:52:59
26964 596341b93cafba00083374de 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=2t-3$（$t\in \mathbb R$ 且 $t\ne \pm 1$），$a_{n+1}=\dfrac{(2t^{n+1}-3)a_n+2(t-1)t^n-1}{a_n+2t^n-1}(n\in \mathbb N^*)$． 2022-04-17 20:51:59
26963 5963422d3cafba00076132d9 高中 解答题 自招竞赛 如图，$P,Q$ 分别是圆内接四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC,BD$ 的中点．若 $\angle{BPA}=\angle{DPA}$，证明：$\angle{AQB}=\angle{CQB}$． 2022-04-17 20:50:59
26962 596342a43cafba00076132df 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_1,a_2,\cdots ,a_n(n\geqslant 4)$ 是给定的正实数，$a_1<a_2<\cdots <a_n$．对任意正实数 $r$，满足 $\dfrac{a_j-a_i}{a_k-a_j}=r(1\leqslant i<j<k\leqslant n)$ 的三元数组 $(i,j,k)$ 的个数记为 $f_n(r)$．
证明：$f_n(r)<\dfrac{n^2}{4}$．		 2022-04-17 20:50:59
26961 5912691ee020e70007fbebe1 高中 解答题 高考真题 设椭圆 $\dfrac{{{x}^{2}}}{a^2}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{3}} = 1$（$a>\sqrt 3$）的右焦点为 $F$，右顶点为 $A$．已知 $\dfrac {1}{|OF|}+\dfrac {1}{|OA|}=\dfrac {3e}{| FA|}$，其中 $O$ 为原点，$e$ 为椭圆的离心率． 2022-04-17 20:50:59
26960 59126ac9e020e7000a7989f5 高中 解答题 自招竞赛 已知线段 $AB$ 长度为 $3$，两端均在抛物线 $x = {y^2}$ 上，试求 $AB$ 的中点 $M$ 到 $y$ 轴的最短距离和此时 $M$ 点的坐标． 2022-04-17 20:50:59
26959 59126c5be020e7000a798a0e 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \dfrac{{12}}{{13}}$，$\sin \left( {\alpha - \beta } \right) = - \dfrac{4}{5}$，且 $\alpha > 0,\beta > 0,\alpha + \beta < \dfrac{{\rm{\pi }}}{2}$，求 $\tan 2\alpha $． 2022-04-17 20:49:59
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