设函数 $f(x)=|\lg(x+1)|$，实数 $a,b(a<b)$ 满足 $f(a)=f\left(-\dfrac{b+1}{b+2}\right)$，$f(10a+6b+21)=4\lg 2$，求 $a,b$ 的值．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
【答案】
$a=-\dfrac 25$，$b=-\dfrac 13$
【解析】
因为 $f(a)=f\left(-\dfrac{b+1}{b+2}\right)$，所以\[\begin{split}|\lg(a+1)|&=\left|\lg\left(-\dfrac{b+1}{b+2}+1\right)\right|\\&=\left|\lg\left(\dfrac 1{b+2}\right)\right|\\&=|\lg(b+2)|,\end{split}\]所以$$a+1=b+2$$或$$(a+1)(b+2)=1.$$又因为 $a<b$，所以$$a+1\ne b+2,$$故$$(a+1)(b+2)=1.$$因为 $f(a)=|\lg(a+1)|$ 有意义，所以$$0<a+1,$$从而$$0<a+1<b+1<b+2,$$于是$$0<a+1<1<b+2,$$所以\[\begin{split}(10a+6b+21)+1&=10(a+1)+6(b+2)\\&=6(b+2)+\dfrac{10}{b+2}>1,\end{split}\]故\[\begin{split}f(10a+6b+21)&=\left|\lg\left[6(b+2)+\dfrac{10}{b+2}\right]\right|\\&=\lg\left[6(b+2)+\dfrac{10}{b+2}\right].\end{split}\]又因为$$f(10a+6b+21)=4\lg 2,$$所以$$\lg\left[6(b+2)+\dfrac{10}{b+2}\right]=4\lg 2,$$故$$6(b+2)+\dfrac{10}{b+2}=16,$$解得 $b=-\dfrac 13$ 或 $b=-1$（舍去）
把 $b=-\dfrac 13$ 代入$$(a+1)(b+2)=1,$$解得 $a=-\dfrac 25$．
因此 $a=-\dfrac 25$，$b=-\dfrac 13$．
把 $b=-\dfrac 13$ 代入$$(a+1)(b+2)=1,$$解得 $a=-\dfrac 25$．
因此 $a=-\dfrac 25$，$b=-\dfrac 13$．
答案
解析
备注
