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求证：$(\tan x)^{\sin x}+(\cot x)^{\cos x}\geqslant 2$，其中 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$．
【难度】
【出处】
2010年北京大学优秀中学生夏令营试题
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    指数函数
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    常用不等式
    >
    均值不等式
【答案】
略
【解析】
情形一当 $\sin x\geqslant \cos x$ 时，有$$(\tan x)^{\sin x}+(\cot x)^{\cos x}\geqslant (\tan x)^{\cos x}+(\cot x)^{\cos x},$$情形二当 $\sin x <\cos x$ 时，有$$(\tan x)^{\sin x}+(\cot x)^{\cos x}> (\tan x)^{\sin x}+(\cot x)^{\sin x},$$进而应用均值不等式即得．
答案 解析 备注
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