已知三条抛物线 $P_1:y=x^2+b_1x+c_1$，$P_2:y=x^2+b_2x+c_2$，$P_3:y=ax^2+bx+c$，且 $P_1,P_2$ 与 $P_3$ 相切．求证：$P_1,P_2$ 与 $P_3$ 各自切点的连线与 $P_1,P_2$ 的公切线平行．
【难度】
【出处】
2010年北京大学优秀中学生夏令营试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $P_1,P_2$ 的公切线为 $y=kx +b_0$，则$$(b_1-k)^2-4(c_1-b_0)=(b_2-k)^2-4(c_2-b_0)=0,$$解得$$k=\dfrac {b_1+b_2}{2}-\dfrac{2(c_1-c_2)}{b_1-b_2}.$$设 $P_1,P_2$ 与 $P_3$ 的切点坐标分别为 $(m_1,n_1)$，$(m_2,n_2)$，则 $m_1$ 为方程$$(a-1)x^2+(b-b_1)x+c-c_1=0$$的重根，于是判别式$$(b-b_1)^2-4(a-1)(c-c_1)=0$$且 $m_1=-\dfrac{b-b_1}{2(a-1)}$．
化简判别式，有$$c-c_1=\dfrac{(b-b_1)^2}{4(a-1)},$$从而有\[\begin{split} \dfrac{n_2-n_1}{m_2-m_1}&=\dfrac{am_2^2+bm_2+c-am_1^2-bm_1-c}{m_2-m_1}\\ &=a(m_2+m_1)+b \\ &=a\cdot\left[-\dfrac{b-b_1}{2(a-1)}-\dfrac{b-b_2}{2(a-1)}\right]+b.\end{split}\]于是只需要证明$$-a\cdot\dfrac{2b-(b_1+b_2)}{2(a-1)}+b=\dfrac{b_1+b_2}2-2\cdot\dfrac{c_1-c_2}{b_1-b_2},$$也即$$\dfrac{1}{a-1}\cdot\dfrac{b-b_1+b-b_2}{2}=2\cdot\dfrac{\dfrac{(b-b_2)^2}{4(a-1)}-\dfrac{(b-b_1)^2}{4(a-1)}}{b_1-b_2},$$因此原命题得证．
化简判别式，有$$c-c_1=\dfrac{(b-b_1)^2}{4(a-1)},$$从而有\[\begin{split} \dfrac{n_2-n_1}{m_2-m_1}&=\dfrac{am_2^2+bm_2+c-am_1^2-bm_1-c}{m_2-m_1}\\ &=a(m_2+m_1)+b \\ &=a\cdot\left[-\dfrac{b-b_1}{2(a-1)}-\dfrac{b-b_2}{2(a-1)}\right]+b.\end{split}\]于是只需要证明$$-a\cdot\dfrac{2b-(b_1+b_2)}{2(a-1)}+b=\dfrac{b_1+b_2}2-2\cdot\dfrac{c_1-c_2}{b_1-b_2},$$也即$$\dfrac{1}{a-1}\cdot\dfrac{b-b_1+b-b_2}{2}=2\cdot\dfrac{\dfrac{(b-b_2)^2}{4(a-1)}-\dfrac{(b-b_1)^2}{4(a-1)}}{b_1-b_2},$$因此原命题得证．
答案
解析
备注
