已知向量 $\overrightarrow {OA} $ 与 $\overrightarrow {OB} $ 夹角为 $\alpha $，$\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = 1 $，$ \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = 2 $，$ \overrightarrow {OP} = \left({1 - t} \right)\overrightarrow {OA} $，$ \overrightarrow {OQ} = t\overrightarrow {OB} $，$ 0 \leqslant t \leqslant 1 $．$ \left| {\overrightarrow {PQ} } \right| $ 在 $ t = {t_0} $ 时取得最小值，问当 $ 0 < {t_0} < \dfrac{1}{5} $ 时，夹角 $ \alpha $ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2010年北京大学等三校联考自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
$\left( {\dfrac{{{\pi }}}{2}, \dfrac{{2{{\pi }}}}{3}} \right)$
【解析】
因为 $\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {OQ} - \overrightarrow {OP} = t\overrightarrow {OB} - \left( {1 - t} \right)\overrightarrow {OA} $，所以\[\begin{split}{\left| {\overrightarrow {PQ} } \right|^2} &= \overrightarrow {PQ} \cdot \overrightarrow {PQ} \\&= {t^2}{\left| {\overrightarrow {OB} } \right|^2} + {\left( {1 - t} \right)^2}{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|^2} - 2t\left( {1 - t} \right)\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} \\&= 4{t^2} + {\left( {1 - t} \right)^2} - 2t\left( {1 - t} \right) \cdot 2\cos \alpha \\& = \left( {5 + 4\cos \alpha } \right){t^2} - \left( {2 + 4\cos \alpha } \right)t + 1.\end{split}\]对称轴$$t = \frac{{1 + 2\cos \alpha }}{{5 + 4\cos \alpha }} = \frac{1}{2} - \frac{3}{{2\left( {5 + 4\cos \alpha } \right)}},$$因为 $ - 1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1$，所以$$- 1 \leqslant \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{{5 + 4\cos \alpha }} \leqslant \dfrac{1}{3}.$$因此当 $0 < {t_0} < \dfrac{1}{5}$ 时，$x = {t_0}$ 一定是在对称轴位置．
所以$$0 < \dfrac{{1 + 2\cos \alpha }}{{5 + 4\cos \alpha }} < \dfrac{1}{5},$$解得 $ - \dfrac{1}{2} < \cos \alpha < 0$，所以 $\alpha $ 的取值范围是 $\left( {\dfrac{{{\pi }}}{2}, \dfrac{{2{{\pi }}}}{3}} \right)$．
所以$$0 < \dfrac{{1 + 2\cos \alpha }}{{5 + 4\cos \alpha }} < \dfrac{1}{5},$$解得 $ - \dfrac{1}{2} < \cos \alpha < 0$，所以 $\alpha $ 的取值范围是 $\left( {\dfrac{{{\pi }}}{2}, \dfrac{{2{{\pi }}}}{3}} \right)$．
答案
解析
备注
