数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的 ${a_1} = 1 , {a_2} = 3$，$3{a_{n + 2}} = 2{a_{n + 1}} + {a_n}$，求 ${a_n}$ 和 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}$．
【难度】
【出处】
2003年上海交通大学冬令营选拔测试
【标注】
【答案】
${a_n} = \dfrac{5}{2} + \dfrac{9}{2} \cdot {\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^n}$，$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \dfrac{5}{2}$
【解析】
解$$3{x^2} - 2x - 1 = 0,$$得 $x = 1$ 或 $x = - \dfrac{1}{3}$．所以$${a_n} = A + B \cdot {\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^n},$$由 ${a_1} = 1$，${a_2} = 3$，解得$${a_n} = \dfrac{5}{2} + \dfrac{9}{2} \cdot {\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^n}.$$于是$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \dfrac{5}{2}.$$
答案
解析
备注
