$3$ 个自然数倒数和为 $1$．求所有的解．
【难度】
【出处】
2003年上海交通大学冬令营选拔测试
【标注】
【答案】
$\left( {2 , 4 , 4} \right)$，$\left( {2 , 3 , 6} \right)$，$\left( {3 , 3 , 3} \right)$
【解析】
设这 $3$ 个自然数分别为 $a , b , c$，$a \leqslant b \leqslant c$，则$$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 1.$$若 $a \geqslant 4$，则$$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \leqslant \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} < 1,$$矛盾．
若 $a = 3$，则$$\left( {a , b , c} \right) = \left( {3 , 3 , 3} \right).$$若 $a = 2$，则$$\left( {a , b , c} \right) = \left( {2 , 4 , 4} \right),\left( {2 , 3 , 6} \right).$$综上，所有的解为 $\left( {2 , 4 , 4} \right)$，$\left( {2 , 3 , 6} \right)$，$\left( {3 , 3 , 3} \right)$．
若 $a = 3$，则$$\left( {a , b , c} \right) = \left( {3 , 3 , 3} \right).$$若 $a = 2$，则$$\left( {a , b , c} \right) = \left( {2 , 4 , 4} \right),\left( {2 , 3 , 6} \right).$$综上，所有的解为 $\left( {2 , 4 , 4} \right)$，$\left( {2 , 3 , 6} \right)$，$\left( {3 , 3 , 3} \right)$．
答案
解析
备注
