已知 $\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \dfrac{{12}}{{13}}$，$\sin \left( {\alpha - \beta } \right) = - \dfrac{4}{5}$，且 $\alpha > 0,\beta > 0,\alpha + \beta < \dfrac{{\rm{\pi }}}{2}$，求 $\tan 2\alpha $．
【难度】
【出处】
2004年复旦大学保送生招生测试
【标注】
【答案】
$ \dfrac{{16}}{{63}}$
【解析】
由题意，得\[\tan 2\alpha = \dfrac{{\tan \left( {\alpha + \beta } \right) + \tan \left( {\alpha - \beta } \right)}}{{1 - \tan \left( {\alpha + \beta } \right)\tan \left( {\alpha - \beta } \right)}}= \dfrac{{\dfrac{{12}}{5} - \dfrac{4}{3}}}{{1 + \dfrac{{12}}{5} \cdot \dfrac{4}{3}}} = \dfrac{{16}}{{63}}.\]
答案
解析
备注
