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是否存在 $0 < x < \dfrac{\pi }{2}$，使得 $\sin x,\cos x, \tan x, \cot x$ 为组成等差数列的四个数（即某种排列可以构成等差数列），请说明理由．
【难度】
【出处】
2010年北京大学等三校联考自主招生保送生测试
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    三角函数
  • 知识点
    >
    数列
    >
    等差数列及其性质
    >
    等差数列的定义与通项
  • 方法
    >
    论述方式
    >
    反证法
【答案】
不存在
【解析】
这四个数为 $a$，$b$，$\dfrac{a}{b}$，$\dfrac{b}{a}$，且 $a , b > 0$，${a^2} + {b^2} = 1$．
这四个数的某种排列可以构成等差数列，即 ${a^2}b ,a{b^2} ,{a^2} , {b^2}$ 的某种排列可以构成等差数列．
情形一 ${a^2}b + a{b^2} = {a^2} + {b^2}$ 不成立．
因为 $0 < a,b < 1$，所以 ${a^2}b + a{b^2} < {a^2} + {b^2}$；
情形二 ${a^2}b + {a^2} = a{b^2} + {b^2}$ 不成立．
因为$$\left( {{a^2}b + {a^2}} \right) - \left( {a{b^2} + {b^2}} \right) = ab\left( {a - b} \right) + \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)= \left( {a + b + ab} \right)\left( {a - b} \right),$$所以若$${a^2}b + {a^2} = a{b^2} + {b^2},$$则$$a = b,$$由于$${a^2} + {b^2} = 1,$$所以$$a = b = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.$$此时 ${a^2}b , a{b^2} , {a^2} , {b^2}$ 为 $\dfrac{{\sqrt 2 }}{4} , \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}, \dfrac{{\sqrt 2 }}{2},\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$ 无法构成等差数列．
情形三 ${a^2}b + {b^2} = a{b^2} + {a^2}$ 不成立．
因为$$\left( {{a^2}b + {b^2}} \right) - \left( {a{b^2} + {a^2}} \right) = \left( {ab - a - b} \right)\left( {a - b} \right) = \left[ {\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) - 1} \right]\left( {a - b} \right),$$所以若$${a^2}b + {b^2} = a{b^2} + {a^2},$$则$$a = b,$$与2°类似，不能构成等差数列．
综合1°2°3°，不存在 $0 < x < \dfrac{{{\pi }}}{2}$ 使得 $\sin x , \cos x , \tan x ,\cot x$ 构成等差数列．
答案 解析 备注
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