设 $a_1,a_2,\cdots ,a_n(n\geqslant 4)$ 是给定的正实数，$a_1<a_2<\cdots <a_n$．对任意正实数 $r$，满足 $\dfrac{a_j-a_i}{a_k-a_j}=r(1\leqslant i<j<k\leqslant n)$ 的三元数组 $(i,j,k)$ 的个数记为 $f_n(r)$．
证明：$f_n(r)<\dfrac{n^2}{4}$．
证明：$f_n(r)<\dfrac{n^2}{4}$．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
对给定的 $j(1<j<n)$，满足 $1\leqslant i<j<k\leqslant n$，且$$\dfrac{a_j-a_i}{a_k-a_j}=r\cdots {\text{ ① }}$$的三元数组 $(i,j,k)$ 的个数记为 $g_i(r)$．
注意到，若 $j,k$ 固定，则至多有一个 $i$ 使得 ① 成立．
因 $k>j$，即 $k$ 有 $n-j$ 种选法，故$$g_j(r)\leqslant n-j,$$从而$$g_j(r)\leqslant \min\{j-1,n=j\}.$$因此，当 $n$ 为偶数时，设 $n=2m$，则有\[\begin{split}f_n(r)&=\sum\limits_{j=2}^{n-1}g_j(r)=\sum\limits_{j=2}^{m-1}g_j(r)+\sum\limits_{j=m}^{2m-1}g_j(r)\\&\leqslant \sum\limits_{j=2}^m(j-1)+\sum\limits_{j=m+1}^{2m-1}(2m-j)\\&=\dfrac{m(m-1)}{2}+\dfrac{m(m-1)}{2}\\&=m^2-m<m^2=\dfrac{n^2}{4}.\end{split}\]当 $n$ 为奇数时，设 $n=2m+1$，则有\[\begin{split}f_n(r)&=\sum\limits_{j=2}^{n-1}g_j(r)\\&=\sum\limits_{j=2}^{m}g_j(r)+\sum\limits_{j=m+1}^{2m}g_j(r)\\&\leqslant \sum\limits_{j=2}^m(j-1)+\sum\limits_{j=m+1}^{2m}(2m+1-j)\\&=m^2<\dfrac{n^2}{4}.\end{split}\]综上知，$f_n(r)<\dfrac {n^2}{4}$．
注意到，若 $j,k$ 固定，则至多有一个 $i$ 使得 ① 成立．
因 $k>j$，即 $k$ 有 $n-j$ 种选法，故$$g_j(r)\leqslant n-j,$$从而$$g_j(r)\leqslant \min\{j-1,n=j\}.$$因此，当 $n$ 为偶数时，设 $n=2m$，则有\[\begin{split}f_n(r)&=\sum\limits_{j=2}^{n-1}g_j(r)=\sum\limits_{j=2}^{m-1}g_j(r)+\sum\limits_{j=m}^{2m-1}g_j(r)\\&\leqslant \sum\limits_{j=2}^m(j-1)+\sum\limits_{j=m+1}^{2m-1}(2m-j)\\&=\dfrac{m(m-1)}{2}+\dfrac{m(m-1)}{2}\\&=m^2-m<m^2=\dfrac{n^2}{4}.\end{split}\]当 $n$ 为奇数时，设 $n=2m+1$，则有\[\begin{split}f_n(r)&=\sum\limits_{j=2}^{n-1}g_j(r)\\&=\sum\limits_{j=2}^{m}g_j(r)+\sum\limits_{j=m+1}^{2m}g_j(r)\\&\leqslant \sum\limits_{j=2}^m(j-1)+\sum\limits_{j=m+1}^{2m}(2m+1-j)\\&=m^2<\dfrac{n^2}{4}.\end{split}\]综上知，$f_n(r)<\dfrac {n^2}{4}$．
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