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  微积分初步

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  利用导数研究函数的性质

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  利用导数研究函数的单调性

当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减；当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\sqrt{\dfrac{1}{2a}}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\sqrt{\dfrac{1}{2a}},+\infty\right)$ 上单调递增

函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$，其导函数$$f'(x)=\dfrac{2ax^2-1}x,x>0,$$于是当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减；当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\sqrt{\dfrac{1}{2a}}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\sqrt{\dfrac{1}{2a}},+\infty\right)$ 上单调递增．

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  基本放缩

$\left[\dfrac 12,+\infty\right)$

题中不等式即$$a(x^2-1)-\ln x-\dfrac 1x+{\rm e}^{1-x}>0,$$记左侧为函数 $g(x)$，其导函数为$$g'(x)=2ax-\dfrac 1x+\dfrac{1}{x^2}-{\rm e}^{1-x}.$$注意到 $g(1)=0$，于是可以分析端点 $x=1$ 处的导函数值 $g'(1)=2a-1$，得到分界点 $a=\dfrac 12$．在以下讨论中，默认 $x$ 的范围是 $(1,+\infty)$．
情形一 $a\geqslant \dfrac 12$．
此时有$$g(x)\geqslant \dfrac 12(x^2-1)-\ln x-\dfrac 1x+{\rm e}^{1-x},$$记右侧为函数 $h(x)$，则其导函数$$h'(x)=x-\dfrac 1x+\dfrac 1{x^2}-{\rm e}^{1-x}.$$我们熟知 $\ln x<x-1$，从而 $1-x<\ln \dfrac 1x$，即 ${\rm e}^{1-x}<\dfrac 1x$，因此$$h'(x)>x-\dfrac 1x+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac 1x=\dfrac{(x-1)(x^2+x-1)}{x^2}>0,$$于是函数 $h(x)$ 单调递增，而 $h(1)=0$，因此 $g(x)\geqslant h(x)>0$，符合题意．
情形二 $a<\dfrac 12$．
此时有$$g(x)<a(x^2-1)+\left(\dfrac 1x-1\right)-\dfrac 1x+\dfrac 1x=(x^2-1)\left[a-\dfrac{1}{x(x+1)}\right].$$若 $a\leqslant 0$，则 $g(x)<0$，显然不符合题意；若 $0<a<\dfrac 12$，则当 $x\in \left(1,\dfrac 12\left(-1+\sqrt{1+\dfrac 4a}\right)\right)$ 时，有 $g(x)<0$，不符合题意．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 12,+\infty\right)$．