已知线段 $AB$ 长度为 $3$，两端均在抛物线 $x = {y^2}$ 上，试求 $AB$ 的中点 $M$ 到 $y$ 轴的最短距离和此时 $M$ 点的坐标．
【难度】
【出处】
2007年上海交通大学冬令营选拔测试
【标注】
【答案】
$\dfrac{5}{4}$，$M\left({\dfrac{5}{4},\pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$
【解析】
抛物线 $p = \dfrac{1}{2}$，所以通径长度为$$2p = 1,$$而$$AB = 3 > 2p,$$所以利用抛物线的定义容易证明 $AB$ 的中点 $M$ 到 $y$ 轴的最短距离为 $\dfrac{5}{4}$，当且仅当直线 $AB$ 通过焦点时取得最值．
利用焦点弦长公式$$\dfrac{{2p}}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 3,$$所以 ${\sin ^2}\alpha = \dfrac{1}{3}$，得 ${\cot ^2}\alpha = 2$．于是直线方程为$$x = \pm \sqrt 2 y + \dfrac{1}{4}.$$因此根据中点弦结论 $M\left({\dfrac{5}{4},\pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$．
利用焦点弦长公式$$\dfrac{{2p}}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 3,$$所以 ${\sin ^2}\alpha = \dfrac{1}{3}$，得 ${\cot ^2}\alpha = 2$．于是直线方程为$$x = \pm \sqrt 2 y + \dfrac{1}{4}.$$因此根据中点弦结论 $M\left({\dfrac{5}{4},\pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$．
答案
解析
备注
