求证：$\dfrac{{{a^3} + 2a}}{{{a^4} + 3{a^2} + 1}}$ 为最简分式．
【难度】
【出处】
2003年上海交通大学冬令营选拔测试
【标注】
【答案】
略
【解析】
由辗转相除法知\[\begin{split}\left( {{a^3} + 2a , {a^4} + 3{a^2} + 1} \right) &= \left( {{a^3} + 2a , a\left( {{a^3} + 2a} \right) + {a^2} + 1} \right)\\& = \left( {{a^3} + 2a , {a^2} + 1} \right)\\& = \left( {a\left( {{a^2} + 1} \right) + a , {a^2} + 1} \right)\\& = \left( {a , {a^2} + 1} \right)\\& = \left( {a , a \cdot a + 1} \right)\\& = \left( {a , 1} \right) = 1.\end{split}\]所以 $\dfrac{{{a^3} + 2a}}{{{a^4} + 3{a^2} + 1}}$ 为最简分式．
答案
解析
备注
