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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27018 591179a8e020e7000878f643 高中 解答题 高考真题 如图，椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率是 $\dfrac{\sqrt 2}2$，过点 $P(0,1)$ 的动直线 $l$ 与椭圆相交于 $A,B$ 两点．当直线 $l$ 平行于 $x$ 轴时，直线 $l$ 被椭圆 $E$ 截得的线段长为 $2\sqrt 2$． 2022-04-17 21:21:00
27017 59117a28e020e7000878f64d 高中 解答题 高考真题 如图，椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率是 $\dfrac{\sqrt 2}2$，点 $P(0,1)$ 在短轴 $CD$ 上，且 $\overrightarrow {PC}\cdot \overrightarrow {PD}=-1$． 2022-04-17 21:21:00
27016 595a5b94866eeb000bce0ccb 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=\dfrac{2(1-a)+\cos x}{a-\sin^2x}$ 的值域包含区间 $[1,2]$，求 $a$ 的取值范围． 2022-04-17 21:20:00
27015 59460fa5a26d280008874a2d 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f\left(x\right)=-2\left(x+a\right)\ln x+x^2-2ax-2a^2+a$，其中 $a>0$． 2022-04-17 21:20:00
27014 59633a173cafba0009670e3a 高中 解答题 自招竞赛 已知正整数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 都是合数，并且两两互素，求证：$\dfrac 1{a_1}+\dfrac 1{a_2}+\cdots +\dfrac 1{a_n}<\dfrac 12$． 2022-04-17 21:19:00
27013 59633a383cafba0009670e3d 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=2$，对于任意的 $p,q \in \mathbb N^*$，有 $a_{p+q}=a_p+a_q$． 2022-04-17 21:19:00
27012 59633a393cafba0007613273 高中 解答题 自招竞赛 设 $f(x)=ax^3+bx+c$（$a,b,c$ 是实数），当 $0\leqslant x\leqslant 1$ 时，$0\leqslant f(x)\leqslant 1$，求 $b$ 的最大可能值． 2022-04-17 21:18:00
27011 59633a4c3cafba0008337473 高中 解答题 自招竞赛 设点 $A(-1,0)$，$B(1,0)$，$C(2,0)$，$D$ 在双曲线 $x^2-y^2=1$ 的左支上，$D\ne A$，直线 $CD$ 交双曲线 $x^2-y^2=1$ 的右支于点 $E$．求证：直线 $AD$ 与 $BE$ 的交点 $P$ 在直线 $x=\dfrac 12$ 上． 2022-04-17 21:17:00
27010 59117d19e020e7000878f65e 高中 解答题 高考真题 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的上顶点为 $B$，左焦点为 $F$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 5}5$． 2022-04-17 21:16:00
27009 59633c983cafba000ac43fb3 高中 解答题 自招竞赛 给定两个数列 $\{x_n\}$，$\{y_n\}$ 满足 $x_0=y_0=1$，$x_n=\dfrac{x_{n-1}}{2+x_{n-1}}(n\geqslant 1)$，$y_n=\dfrac{y_{n-1}^2}{1+2y_{n-1}}(n\geqslant 1)$．证明对于任意自然数 $n$，都存在自然数 $j_n$，使得 $y_n=x_{jn}$． 2022-04-17 21:16:00
27008 591181cce020e700094b09f4 高中 解答题 高考真题 设圆 $x^2+y^2+2x-15=0$ 的圆心为 $A$，直线 $l$ 过点 $B(1,0)$ 且与 $x$ 轴不重合，$l$ 交圆 $A$ 于 $C,D$ 两点，过 $B$ 作 $AC$ 的平行线交 $AD$ 于点 $E$． 2022-04-17 21:15:00
27007 5911824fe020e7000878f67a 高中 解答题 自招竞赛 解方程组：$\begin{cases}xy=2x+y-1,\\ xz=3x+4z-8,\\ yz=3y+2z-8.\end{cases}$ 2022-04-17 21:14:00
27006 59633cb33cafba0009670e59 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{5^2}+\dfrac{y^2}{4^2}=1$，过其左焦点 $F_1$ 作一条直线交椭圆于 $A,B$ 两点，$D(a,0)$ 为 $F_1$ 右侧一点，连 $AD,BD$ 分别交椭圆左准线于 $M,N$．若以 $MN$ 为直径的圆恰好过 $F_1$，求 $a$ 的值． 2022-04-17 21:13:00
27005 59633ccc3cafba00083374a4 高中 解答题 自招竞赛 在锐角三角形 $ABC$ 中，$\angle A=\dfrac{\pi}{3}$，设在其内部同时满足 $PA\leqslant PB$ 和 $PA\leqslant PC$ 的点 $P$ 的全体形成的区域 $G$ 的面积为三角形 $ABC$ 面积的 $\dfrac 13$．证明：三角形 $ABC$ 为等边三角形． 2022-04-17 21:13:00
27004 59633d8a3cafba000ac43fc4 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}=3$，$a_{n+1}=a_{n}^{2}-na_{n}+\lambda (n\in\mathbb N^{*},\lambda \text{为实数})$． 2022-04-17 21:13:00
27003 591182aee020e70007fbeb19 高中 解答题 自招竞赛 证明：对任意实数 $k$，方程 ${x^2} + {y^2} - 2kx - \left( {6 + 2k} \right)y - 2k - 31 = 0$ 恒过两定点． 2022-04-17 21:12:00
27002 591182eae020e700094b09ff 高中 解答题 自招竞赛 设长方体的三边长为 $a,b,c$，且 $a > b > c$．设 $PQ$ 为此长方体的体对角线．求从 $P$ 沿长方体表面至 $Q$ 最短路径的长度． 2022-04-17 21:12:00
27001 59118520e020e70007fbeb3c 高中 解答题 自招竞赛 已知 ${a_1},{a_2},{a_3}, \cdots ,{a_n}$ 是各不相同的自然数，$n \geqslant 2$，求证：$${\left( {\dfrac{1}{{{a_1}}}} \right)^n} + {\left( {\dfrac{1}{{{a_2}}}} \right)^n} + {\left( {\dfrac{1}{{{a_3}}}} \right)^n} + \cdots + {\left( {\dfrac{1}{{{a_n}}}} \right)^n} < 2.$$ 2022-04-17 21:11:00
27000 59118594e020e7000a798975 高中 解答题 自招竞赛 一矩形的一边在 $x$ 轴上，另两个顶点在函数 $y = \dfrac{x}{{1 + {x^2}}}$（$x > 0$）的图象上，求此矩形绕 $x$ 轴旋转而成的几何体的体积的最大值． 2022-04-17 21:11:00
26999 591185c7e020e700094b0a28 高中 解答题 自招竞赛 一圆锥的底面半径为 $12$，高为 $16$，球 ${O_1}$ 内切于圆锥，球 ${O_2}$ 内切于圆锥侧面，与球 ${O_1}$ 外切，球 ${O_3}$ 内切于圆锥侧面，与球 ${O_2}$ 外切，……，以次类推． 2022-04-17 21:10:00
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