已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 $P\left(\sqrt 3,\dfrac 12\right)$ 在椭圆 $E$ 上．
【难度】
【出处】
2016年高考四川卷（文）
【标注】
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求椭圆 $E$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^2}4+y^2=1$解析根据题意，有 $a=2b$，结合点 $P\left(\sqrt 3,\dfrac 12\right)$ 在椭圆 $E$ 上，可得椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$．
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设不过原点 $O$ 且斜率为 $\dfrac 12$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A,B$，线段 $AB$ 的中点为 $M$，直线 $OM$ 与椭圆 $E$ 交于 $C,D$，证明：$|MA|\cdot |MB|=|MC|\cdot |MD|$．标注答案略解析设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，将两个点满足的椭圆方程相减整理可得（即椭圆的“垂径定理”）直线 $OM$ 和直线 $AB$ 的斜率之积为 $-\dfrac 14$，从而直线 $CD$ 的斜率为 $-\dfrac 12$．
由 $CD:y=-\dfrac 12x$，于是可设 $M(-2m,m)$，进而分别以 $(2,1)$ 和 $(2,-1)$ 为直线 $AB$ 和 $CD$ 的方向向量，可设$$AB:\begin{cases}x=-2m+2t,\\ y=m+t,\end{cases}$$且$$CD:\begin{cases} x=-2m+2t,\\ y=m-t.\end{cases}$$设点 $A,B$ 对应的参数分别为 $t_1,t_2$，点 $C,D$ 对应的参数分别为 $t_3,t_4$．
分别将直线 $AB,CD$ 的方程与椭圆方程联立，可得 $t_1,t_2$ 是方程$$2t^2+2m^2-1=0$$的两根，而 $t_3,t_4$ 是方程$$2t^2-4mt+2m^2-1=0$$的两根．
因此$$\begin{split} &|MA|\cdot |MB|-|MC|\cdot |MD|\\=& \sqrt{2^2+1}\cdot |t_1|\cdot \sqrt{2^2+1}\cdot |t_2|-\sqrt{2^2+(-1)^2}\cdot |t_3|\cdot \sqrt{2^2+(-1)^2}\cdot |t_4|\\=&0,\end{split} $$因此原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
