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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21458 5a682b98fab5d70007676925 高中 解答题 高中习题 已知非负实数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 满足 $\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i^2=1$，求 $\displaystyle \sum_{i=1}^n\dfrac{x_i}{1-x_i^2}$ 的最小值． 2022-04-17 20:12:09
21457 5a682c38fab5d70008dc24ff 高中 解答题 高中习题 设 $a_1\geqslant a_2\geqslant \cdots\geqslant a_n\geqslant 0$，若 $b_1\geqslant a_1$，$b_1b_2\geqslant a_1a_2,\cdots,b_1\cdots b_n\geqslant a_1\cdots a_n$，求证：$b_1+b_2+\cdots+b_n\geqslant a_1+a_2+\cdots+a_n$． 2022-04-17 20:12:09
21456 5a682d4cfab5d70008dc250b 高中 解答题 高中习题 正实数 $a_1,\cdots,a_n,b_1,\cdots,b_n$，若 $a,b,A,B$ 满足 $a_1,a_2,\cdots,a_n\in[a,A]$，且 $b_1,b_2,\cdots,b_n\in[b,B]$，求证：$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)\leqslant \left(\sum_{i=1}^na_ib_i\right)^2\left(\dfrac{\sqrt{\frac{AB}{ab}}+\sqrt{\frac{ab}{AB}}}{2}\right)^2$． 2022-04-17 20:11:09
21455 5a682f3dfab5d70007676954 高中 解答题 高中习题 实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 满足 $a_i\in[-1,1]$，$a_ia_{i+1}\neq -1$，求证：$\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{1+a_ia_{i+1}}\geqslant \sum_{i=1}^n\dfrac{1}{1+a_i^2}$，视 $a_{1+n}=a_1$． 2022-04-17 20:11:09
21454 5a682fcbfab5d70007676962 高中 解答题 高中习题 实数 $a_1,\cdots,a_n\in(0,1)$，求证：$\displaystyle\sum_{i=1}^na_k-\prod_{k=1}^na_k<n-1$． 2022-04-17 20:10:09
21453 5a682e02fab5d70007676946 高中 解答题 高中习题 实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 满足 $a_1+a_2+\cdots+a_n=0$，求证：$\displaystyle\max \limits_{1\leqslant k\leqslant n} a_k^2\leqslant \dfrac n3\sum_{i=1}^{n-1}(a_i-a_{i+1})^2$． 2022-04-17 20:10:09
21452 5a68302afab5d70008dc2530 高中 解答题 高中习题 正实数 $a_1,\cdots,a_n,b_1,\cdots,b_n$，记 $\displaystyle A=\sum_{i=1}^n a_k$，$B=\displaystyle\sum_{i=1}^n b_k$，求证：$\displaystyle \sum_{i=1}^n\dfrac{a_kb_k}{a_k+b_k}\leqslant \dfrac{AB}{A+B}$． 2022-04-17 20:09:09
21451 5a6830c6fab5d7000767696c 高中 解答题 高中习题 整数列 ${a_n}$，其中 $\displaystyle a_n=\sum_{k=0}^n\mathrm{C}_{2n+1}^{2k+1}2^{3k}$，求证：${a_n}$ 不是 $5$ 的倍数． 2022-04-17 20:09:09
21450 5a6ee84a9bb0f20008eafc7d 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c$ 为实数，求证：$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geqslant 9(ab+bc+ca)$． 2022-04-17 20:08:09
21449 5a68315bfab5d7000767697d 高中 解答题 高中习题 数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1=0,a_{n+1}=5a_n+\sqrt{24a_n^2+1},n\geqslant 1$ 且 $n\in\mathbb N^\ast$，求证：${a_n}$ 为整数数列． 2022-04-17 20:08:09
21448 5a683210fab5d70007676984 高中 解答题 高中习题 求所有的 $f:\mathbb Z\mapsto \mathbb Z$，满足 $f(m+n)=f(m)+f(n)+mn$． 2022-04-17 20:07:09
21447 5a6832bdfab5d70008dc254f 高中 解答题 高中习题 等差数列 $\{x_n\},x_n=a+bn$，其中 $a,b\in\mathbb C^{\ast}$，若 $\{x_n\}$ 中包含一个无限长的等比数列，求 $a,b$ 所需要满足的充要条件． 2022-04-17 20:07:09
21446 5a68350ffab5d700076769a3 高中 解答题 高中习题 整数数列 $\{a_n\}$，$a_1=1$，$a_{n+1}=\begin{cases} a_n+n,a_n\leqslant n\\ a_n-n,a_n>n\end{cases},n\geqslant 1,n\in\mathbb N^\ast$，求满足 $a_r<r\leqslant 3^{2017}$ 的正整数 $r$ 的个数． 2022-04-17 20:07:09
21445 5a683361fab5d70008dc2558 高中 解答题 高中习题 整数数列 $\{a_n\},a_1=u+v$，$\begin{cases} a_{2m}=a_m+u,\\ a_{2m+1}=a_m+v,\end{cases} u,v\in\mathbb N^\ast$．记 $S_n=a_1+\cdots+a_n$，求证：$\{S_n\}$ 中有无穷多个平方数． 2022-04-17 20:06:09
21444 5a6833d0fab5d70008dc2564 高中 解答题 高中习题 实数列 $\{x_n\}$ 满足：$x_n=\dfrac{n}{n+a}$，其中 $a$ 为给定的自然数，求证：任一项 $x_n$ 可表示为数列中某两项之积． 2022-04-17 20:05:09
21443 5a683406fab5d70008dc256b 高中 解答题 高中习题 实数列 $\{a_n\}$，$a_0=\dfrac12,$ $a_{k+1}=a_k+\dfrac1n a_k^2$（$k\in\mathbb N$），求证：$1-\dfrac1n<a_n<1$． 2022-04-17 20:04:09
21442 5a71da639bb0f20009089f5a 高中 解答题 高中习题 已知 $a , b , c$ 都是有理数，$\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c $ 也是有理数，证明：$\sqrt a , \sqrt b , \sqrt c $ 都是有理数． 2022-04-17 20:04:09
21441 599165c12bfec200011e0035 高中 解答题 高考真题 设函数 $f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){{\mathrm{e}}^x} - k{x^2}\left(k \in {\mathbb{R}}\right) $． 2022-04-17 20:03:09
21440 59b62305b04965000728302d 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x+x^2-x$，$g(x)=x^2+ax+b$，其中 $a,b$ 均为实数． 2022-04-17 20:03:09
21439 59b62305b049650007283061 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=x-\dfrac 1x-a\ln x$，其中 $a\in \mathbb R$． 2022-04-17 20:02:09
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