正实数 $a_1,\cdots,a_n,b_1,\cdots,b_n$，若 $a,b,A,B$ 满足 $a_1,a_2,\cdots,a_n\in[a,A]$，且 $b_1,b_2,\cdots,b_n\in[b,B]$，求证：$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)\leqslant \left(\sum_{i=1}^na_ib_i\right)^2\left(\dfrac{\sqrt{\frac{AB}{ab}}+\sqrt{\frac{ab}{AB}}}{2}\right)^2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
（Polya不等式）由 $a_i\in[a,A],b_i\in[b,B]$，存在 $(u_i,v_i)$ 满足线性方程组$$\begin{cases} a_i^2=u_ia^2+ v_iA^2,\\
b_i^2=u_i B^2+ v_ib^2, \end{cases}$$此时根据Cauchy不等式有$$a_ib_i=\sqrt{u_ia^2+v_iA^2}\cdot\sqrt{u_iB^2+v_ib^2}\geqslant u_iaB+v_iAb,$$此时$$\begin{split} \sum_{i=1}^na_i^2=a^2\sum_{i=1}^nu_i+A^2\sum_{i=1}^nv_i,\\
\sum_{i=1}^nb_i^2=b^2\sum_{i=1}^nv_i+B^2\sum_{i=1}u_i,\end{split}$$记 $\displaystyle X=\sum_{i=1}^nu_i,Y=\sum_{i=1}^nv_i$，则$$\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^nb_i^2\right)=\left(a^2X+A^2Y\right)\left(B^2X+b^2Y\right),$$而$$(\sum_{i=1}^na_ib_i)^2\geqslant (aBX+AbY)^2,$$由对号函数的幂值$$\dfrac{(a^2X+A^2Y)(B^2X+b^2Y)}{(aBX+AbY)^2}=1+\dfrac{(AB-ab)^2}{aBX+AbY}\cdot XY\leqslant 1+\dfrac{(AB-ab)^2}{4abAB}.$$
b_i^2=u_i B^2+ v_ib^2, \end{cases}$$此时根据Cauchy不等式有$$a_ib_i=\sqrt{u_ia^2+v_iA^2}\cdot\sqrt{u_iB^2+v_ib^2}\geqslant u_iaB+v_iAb,$$此时$$\begin{split} \sum_{i=1}^na_i^2=a^2\sum_{i=1}^nu_i+A^2\sum_{i=1}^nv_i,\\
\sum_{i=1}^nb_i^2=b^2\sum_{i=1}^nv_i+B^2\sum_{i=1}u_i,\end{split}$$记 $\displaystyle X=\sum_{i=1}^nu_i,Y=\sum_{i=1}^nv_i$，则$$\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^nb_i^2\right)=\left(a^2X+A^2Y\right)\left(B^2X+b^2Y\right),$$而$$(\sum_{i=1}^na_ib_i)^2\geqslant (aBX+AbY)^2,$$由对号函数的幂值$$\dfrac{(a^2X+A^2Y)(B^2X+b^2Y)}{(aBX+AbY)^2}=1+\dfrac{(AB-ab)^2}{aBX+AbY}\cdot XY\leqslant 1+\dfrac{(AB-ab)^2}{4abAB}.$$
答案
解析
备注
