等差数列 $\{x_n\},x_n=a+bn$，其中 $a,b\in\mathbb C^{\ast}$，若 $\{x_n\}$ 中包含一个无限长的等比数列，求 $a,b$ 所需要满足的充要条件．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
一方面若有三项 $x_{n_1},x_{n_2},x_{n_3}$ 成等比数列，则$$\dfrac{a+bn_1}{a+bn_2}=\dfrac{a+bn_2}{a+bn_3},$$根据合比性质有$$\dfrac{n_1-n_2}{n_2-n_3}=\dfrac{a+bn_1}{a+bn_2},$$于是可知$$\dfrac ab\in \mathbb Q,$$另一方面 $\dfrac ab\in Q$ 时，同乘以一个整数，可不妨 $a,b\in\mathbb Z,b>0$．故$$\exists n_0,c=a+bn_0>0,$$令 $q=b+1$，取 $n_{k+1}=n_k+cq^k,k\geqslant 0$，则$$a+bn_k=cq^k$$为等比数列．
答案
解析
备注
