正实数 $a_1,\cdots,a_n,b_1,\cdots,b_n$，记 $\displaystyle A=\sum_{i=1}^n a_k$，$B=\displaystyle\sum_{i=1}^n b_k$，求证：$\displaystyle \sum_{i=1}^n\dfrac{a_kb_k}{a_k+b_k}\leqslant \dfrac{AB}{A+B}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
对 $n$ 归纳，$n=1$ 时显然成立，当 $n=2$ 时，即证明$$\dfrac{a_1b_1}{a_1+b_1}+\dfrac{a_2b_2}{a_2+b_2}\leqslant \dfrac{(a_1+a_2)(b_1+b_2)}{a_1+a_2+b_1+b_2},$$整理上述不等式即证明$$a_1b_1\cdot\dfrac{a_2+b_2}{a_1+b_1}+a_2b_2\cdot\dfrac{a_1+b_1}{a_2+b_2}\leqslant a_2b_1+a_1b_2,$$又即证明$$a_2b_1\left(\dfrac{a_1}{a_1+b_1}+\dfrac{b_2}{a_2+b_2}-1\right)+a_1b_2\left(\dfrac{b_1}{a_1+b_1}-\dfrac{a_2}{a_2+b_2}-1\right)\leqslant 0,$$即$$-\dfrac{-(a_1b_2-a_2b_1)^2}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)}\leqslant 0$$显然成立．归纳时直接形式上相加即可．
答案
解析
备注
