整数列 ${a_n}$，其中 $\displaystyle a_n=\sum_{k=0}^n\mathrm{C}_{2n+1}^{2k+1}2^{3k}$，求证：${a_n}$ 不是 $5$ 的倍数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由题$$\begin{split} a_n=&\sum_{k=0}^n\mathrm{C}_{2n+1}^{2k+1}\left(2\sqrt2\right)^{2k+1}\cdot\dfrac1{2\sqrt2}\\
=&\dfrac1{4\sqrt2}\sum_{k=0}^n\mathrm{C}_{2n+1}^{2k+1}(2\sqrt2)^{2k+1}\cdot2\\
=&\dfrac1{4\sqrt2}\left[\left(2\sqrt2+1\right)^{2n+1}+\left(2\sqrt2-1\right)^{2n+1}\right],\end{split}$$视作特征根方程解出的二阶线性递推数列，可知$$a_0=1,a_1=11,a_{n+1}=18a_{n}-49a_{n-1},$$模 $5$ 后为周期数列，可验证没有 $a_n$ 为 $5$ 的倍数．
=&\dfrac1{4\sqrt2}\sum_{k=0}^n\mathrm{C}_{2n+1}^{2k+1}(2\sqrt2)^{2k+1}\cdot2\\
=&\dfrac1{4\sqrt2}\left[\left(2\sqrt2+1\right)^{2n+1}+\left(2\sqrt2-1\right)^{2n+1}\right],\end{split}$$视作特征根方程解出的二阶线性递推数列，可知$$a_0=1,a_1=11,a_{n+1}=18a_{n}-49a_{n-1},$$模 $5$ 后为周期数列，可验证没有 $a_n$ 为 $5$ 的倍数．
答案
解析
备注
